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Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Passo 1

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de x n , Assim no primeiro somatório vamos trocar n por n + 1 e no segundo somatório k por n - 2 e ficaremos com:

∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 2 c n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ 4 c n - 2 x n

Beleza! Mas agora tem um cara começando em 0 e o resto começando em 2 . Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. Assim:

∑ n = - 1 ∞ 3 n + 1 2 c n + 1 x n = 3 c 1 + 12 c 2 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 1 2 c n + 1 x n

Mas repare que, no primeiro somatório, quando n = - 1 , n + 1 = 0 . Portanto, nosso somatório pode começar de zero sem problemas:

∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 2 c n + 1 x n = 3 c 1 + 12 c 2 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 1 2 c n + 1 x n

Agora podemos juntar os dois somatórios, ficando assim com:

∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 2 c n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ 4 c n - 2 x n = 3 c 1 + 12 c 2 x + ∑ n = 2 ∞ ( 3 n + 1 2 c n + 1 + 4 c n - 2 ) x n

Resposta

3 c 1 + 12 c 2 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 1 2 c n + 1 + 4 c n - 2 x n

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.