UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 1.7
1. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos encontrar a representação em série de potências para a função utilizando o conceito de séries de Taylor. O desenvolvimento em série de potências de uma função em torno de um ponto é dado por:
Vamos começar com e calcular as derivadas sucessivas de :Passo 1: Derivadas sucessivas
Passo 2
Agora podemos escrever a representação em série de potências de em torno de 0 :
Passo 3
A série de potências converge quando o valor absoluto de está dentro do intervalo de convergência. Neste caso, a série converge para todos os valores de .
Resposta
Portanto, a representação em série de potências para é a série acima, e o intervalo de convergência é .
Exercícios de Livros Relacionados
O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.