1. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos encontrar a representação em série de potências para a função utilizando o conceito de séries de Taylor. O desenvolvimento em série de potências de uma função em torno de um ponto é dado por:
Vamos começar com e calcular as derivadas sucessivas de :Passo 1: Derivadas sucessivas
Passo 2
Agora podemos escrever a representação em série de potências de em torno de 0 :
Passo 3
A série de potências converge quando o valor absoluto de está dentro do intervalo de convergência. Neste caso, a série converge para todos os valores de .
Resposta
Portanto, a representação em série de potências para é a série acima, e o intervalo de convergência é .