UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Antigas, P2, 2022.2, 1
Considere a função:
1. Determine uma representação por séries de potências em para .
2. Use o item anterior para avaliar a integral
e determine o raio de convergência.
Dica: Lembre-se que , para .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado uma função e pediu pra gente representar ela em séries de potências. Além disso, vamos precisar calcular a integral dessa função e determinar o raio de convergência da série.
Vamos começar relembrando como a gente representa uma função em série de potência. Como podemos fazer isso? Bom, uma série de potência nada mais é do que um polinômio (ou uma potência) escrito condensadamente em forma de somatório:
Só que um polinômio que “vai pra infinito”? Percebe? continua sendo a variável, enquanto são os coeficientes do polinômio ou da série.
A série geométrica é uma série de potências especial, que converge para entre e e diverge pra qualquer outro valor. Lembra dela? Ela é representada assim:
Se a gente reparar, nossa função se parece muito com a série geométrica. Então, o que nós vamos fazer é tentar torna-la mais parecida, pra usar a representação em série de potências nesse formato conhecido. Em seguida, vamos calcular a integral da série e determinar o raio de convergência através do teste da razão, que nos diz que para:
Se , a série é convergente e encontramos nosso raio .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pela representação em série de potências da nossa função . Nós já vimos que ela se parece um pouco com a série geométrica, que é definida como . Se escrevermos , temos:
Então, como a série geométrica é representada por , podemos escrever:
Colocando o evidência, fica:
E encontramos nossa representação em série.
Passo 3
Agora vamos calcular a integral usando a resultado do passo anterior. Para encontrar a integral de uma série de potências, usamos um teorema que nos diz que dentro do seu intervalo de convergência, a integral de uma série de potência é a soma das integrais dos termos individuais, ou seja:
Assim, temos:
Como nossa integral é em relação a , podemos colocar o termo constante () pra fora da integral:
E aí podemos integrar usando a regra da potência para integrais:
Assim, integrando, temos:
Passo 4
Agora só falta a gente determinar o raio de convergência usando o Teste da Razão. Calculando o limite:
No nosso caso, , substituindo no limite vamos ter:
Pela propriedade da divisão de frações, vamos conservar a primeira fração, trocar o sinal de divisão por multiplicação e inverter a segunda fração:
Como , temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Como estamos usando o módulo, podemos ocultar o sinal negativo:
Já que nosso limite é apenas em relação a , podemos tirar do limite:
Dividindo todo mundo por :
Quando tende pra infinito no denominador das frações, a divisão tende a zero (porque um número constante dividido por outro muuuuito grande, vai sempre se aproximar de zero, certo?). Assim, temos:
Pra que a série seja convergente, o resultado do limite precisa ser menor do que , então:
Daí, e pertence ao intervalo . Logo, nosso raio de convergência será:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉