1. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f(x) = 1 / (1 + x)

Passo 1

E ai galera, bora para mais um exercício? Simmm!!!

Claro, vou guiá-lo através do processo passo a passo para encontrar a representação em série de potências para a função f ( x ) = 1 1 + x . Vamos usar a expansão da série geométrica, pois a função 1 1 + x pode ser reescrita na forma de uma série geométrica.

A série geométrica é dada por:

1 1 - r = 1 + r + r 2 + r 3 + …

Passo 2

Comparando com a função f ( x ) = 1 1 + x , percebemos que r = - x . Portanto, temos:

1 1 + x = 1 - x + x 2 - x 3 + …

Passo 3

Verifique o intervalo de convergênciaA série geométrica converge quando - 1 < r < 1 . Neste caso, r = - x , então a série converge quando | x | < 1 .

Resposta

Portanto, a representação em série de potências para a função f ( x ) = 1 1 + x é: 1 1 + x = 1 - x + x 2 - x 3 + … ,   | x | < 1

Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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