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Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

UFSCAR – Sem campus; Séries e Equações Diferenciais; Simulado 14 2021.1; questão 2

Seja f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n a série de potência com

a 0 = 0 ,     a 1 = 1 ,       a 2 n = a 2 ( n - 1 ) ,       a 2 n + 1 = - 2 n - 1 2 n + 1 a 2 n - 1 ,                 n ≥ 1     .

Calcule f 1 2 com três casa decimais:

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

Nosso primeiro passo vai ser determinar como podemos representar a série f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n , então vamos avaliar os pontos dados, ou seja, quando:

    a 0 = 0

  a 1 = 1

E variando o valor de n :

n = 1 ,     a 2 = a 0 = 0

n = 1 ,     a 3 = - 1 3

n = 2 ,       a 4 = 0

n = 2 ,       a 5 = 1 5

n = 3 ,       a 6 = 0

n = 3 ,       a 7 = - 1 7

Você conseguiu perceber que só o denominador muda conforme n também altera ? Então, é como se a n pudesse ser escrita com a n = 0 se n   é   p a r e a n = 1 ( 2 n + 1 ) se n   é   í m p a r .

Então, agora podemos reescrever nossa série como:

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) x n

Passo 2

O macete aqui vai ser associar a série que temos com sua derivada! Por exemplo, seja f x = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ; então f é analítica para todo x   ∈ R . Nessa condição, é verdadeira a afirmação de que f x = c   l n ⁡ ( x ) , sendo c = 2 3 .

Então para terminarmos de destruir essa questão, basta adicionarmos a condição dada no enunciado de que f 1 2 = 2 3 l n ⁡ 1 2 = 0,46

E aí, curtiu a resolução? Responde Aí

Resposta

f 2 = 0,46

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.