UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Antigas, P2, 2022.2, 2
Considere o sistema de equações diferenciais ordinárias:
1. Encontre os autovalores da matriz .
2. Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar os autovalores da matriz e a solução geral do sistema de equações:
Nós vamos começar encontrando os autovalores da matriz . Mas como é que a gente faz isso? Basta a gente calcular as raízes do polinômio característico:
Onde é a matriz identidade e é a nossa matriz. Então, para encontrar os autovalores basta fazer . Em seguida, vamos encontrar a solução geral do sistema por meio dos autovetores associados ao autovalores . Nossa solução geral terá a forma:
Onde e são os autovetores que nós encontramos fazendo:
Com .
Então, vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando nosso autovalores, calculando:
Nós temos e a matriz identidade , substituindo na equação:
Multiplicando pela matriz identidade:
Subtraindo cada elemento de cada matriz, temos:
Agora vamos calcular o determinante da matriz resultante (multiplicando os elementos da diagonal principal e subtraindo a multiplicação dos elementos da diagonal secundária):
Logo,
Lembra que pra encontra os autovalores fazemos ? Então, temos:
E aí basta encontrar as raízes dessa equação quadrática. Usando Bhaskara vamos ter:
Assim,
Dessa forma, nossas raízes são e . Encontramos nossos autovalores:
Passo 3
Agora vamos determinar os autovetores da matriz, pra conseguir escrever a solução geral do sistema. Fazendo:
Com , e , temos:
Fazendo a multiplicação das matrizes do lado esquerdo e a multiplicação da constante pela matriz do lado direito, temos:
Agora nós podemos igualar os termos que estão na mesma posição para montar o sistema:
Da primeira equação, temos:
Então, com bases nesses coeficientes, temos nosso autovetor associado a :
Passo 4
Agora vamos encontrar o autovetor associado a . Fazendo:
Com , e , temos:
Fazendo a multiplicação das matrizes do lado esquerdo e a multiplicação da constante pela matriz do lado direito, temos:
Agora nós podemos igualar os termos que estão na mesma posição para montar o sistema:
Da primeira equação, temos:
Então, nós obtemos nosso segundo autovetor:
Passo 5
Calma, que tá acabando! Agora só falta a gente escrever a solução geral do sistema na forma:
Nós encontramos e , e . Substituindo na equação, temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉