UFRJ. Cálculo 4. P1. 2022.1. Questão 2.
Considere a função real
(a) Use derivação para encontrar uma representação em séries de potências centrada em para a função .
(b) Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potencias encontrada no item (a).
(c) Encontrar uma expansão em séries de potencias para a função
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, vamos usar nossos conhecimentos a respeito de séries de potências.
Foi dada uma função e no item a) foi dito pra usarmos a derivação que represente nossa função em séries de potências centrada em .
Ou seja, se a gente integrar , vamos obter a função cuja derivada é igual a correto?
Portanto vamos obter a série da integral de e derivar sua série.
No item b) temos que determinar o raio e o intervalo de convergência da série que vamos obter.
Já no item c) vamos usar algum método para obter uma expansão em séries de potencias para a função
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos começar já integrando a função
Aplicando o método de integração por partes onde e , temos
Pelo método de integração polinomial
Substituindo por de volta ignorando a constante de integração.
Com isso, temos
Olhando para a função que podemos chamar de vemos que é muito parecida com uma série muito famosa
sabemos que a representação dessa função em séries de potências é dada por
comparando com , temos
Com isso, podemos adaptar a série de para a série de
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Ainda não acabamos, vamos simplificar um pouquinho nossa série. Perceba que podemos escrever como portanto
Agora como , temos que derivar nossa série
Pelo método de derivação polinomial e como é uma constante
Como em o termo da série é , podemos começar nosso somatório com
Ou também podemos fazer uma mudança de para
Assim podemos simplificar o sinal negativo de fora da série já que
Interessante, não é? 😎
Passo 4
No item b) queremos saber o raio e o intervalo de convergência da série de
Analisando a série vemos que ela é uma serie geométrica, já que uma serie geométrica tem uma cara de
Ou seja, nosso é e nosso é o mesmo onde .
Sabemos que uma serie geométrica converge quando , com isso, como nosso nossa série vai convergir quando .
Dessa forma, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .
Veja só esse desenho
O raio de convergência é a diferença entre e os extremos e e o intervalo de convergência é .
Entendeu? 😁
Agora vamos calcular o item c). Perceba que podemos escrever a função como
Vamos usar o mesmo método da derivação para calcular essa série
Se a gente derivar , vamos obter
Pela regra do quociente, temos
Dessa forma, vamos obter nossa derivada aplicando a regra da cadeia em substituindo por
Voltando para
Simplificando o resultado, nossa será
Relaxa, estamos acabando!
Passo 5
Perceba a relação entre e
Já temos a série de , não é? De derivarmos e aplicar em , vamos obter a série que representa . Viu que maravilha!
Se
Aplicando o método de integração polinomial em
Novamente em , o primeiro termo é então não faz diferença para nossa série, ou vamos transladar o inicial para no somatório
Se a gente transladar o para novamente, fazendo na série, vamos obter
Bacana, não é?
Passo 6
Substituindo em , temos
Organizando o resultado
Também podemos escrever com a serie começando em para se transformar em , com isso, trocamos por
Logo, nossa série de potência para é
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
a)
b) ,
c)