UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Antigas, P2, 2022.2, 4
Suponha que a matriz de ordem tenha autovalores reais dois a dois distintos (ou seja, negativos). Mostre que se é uma solução do sistema , então:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma matriz que tem infinitos autovalores negativos e um sistema de equações diferenciais ordinárias, , que tem uma solução . Ele quer que a gente mostre que quando tende a infinito nessa solução, o resultado é o vetor nulo.
Pra gente conseguir demonstrar isso, temos que conhecer o formato da solução do sistema. Lembra dela? Pra um sistema de EDO, nós temos a solução geral do tipo:
Onde são os autovetores associados aos autovalores , e são os coefiecientes reais com .
A partir dessa solução, nós vamos verificar o que acontece com o limite , supondo os autovalores negativos.
Vamos lá!
Passo 2
Como vimos no passo , a matriz possui autovalores distintos e a solução de é dada por:
Calculando o limite pra tendendo a infinito, temos:
Lembra das propriedades do limite? Uma delas nos diz que o limite da soma é igual a soma dos limites.
Além disso, como o limite é apenas em relação a , nós podemos tirar os termos constantes para fora do limite. Assim, ficamos com:
Como o enunciado nos disse que , ou seja, esses autovalores são negativos, nós vamos ter um expoente negativo em . Assim, o que acontece é que quando , vamos ter algo do tipo tendendo a zero, percebe? Isso porque a gente vai ter um número pequeno dividido por um número infinitamente grande.
Dessa forma, o limite , para , é igual a zero. E temos:
Então, o resultado dessa multiplicação será:
Ou seja:
Como queríamos demonstrar.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉