1. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f(x) = 3 / (1 - x^4)

Passo 1

E ai galera, bora para mais um exercício? Simmm!!!

Claro, vou guiá-lo através do processo passo a passo para encontrar a representação em série de potências para a função f ( x ) = 3 1 - x 4 . Vamos usar a expansão da série geométrica novamente, pois a função 3 1 - x 4 pode ser reescrita na forma de uma série geométrica.

A série geométrica é dada por:

1 1 - r = 1 + r + r 2 + r 3 + …

Passo 2

Comparando com a função f ( x ) = 3 1 - x 4 , percebemos que r = x 4 . Portanto, temos: 3 1 - x 4 = 3 + 3 x 4 + 3 x 8 + 3 x 12 + …

Passo 3

Vamos verificar o intervalo de convergência, vem comigo!!!A série geométrica converge quando - 1 < r < 1 . Neste caso, r = x 4 , então a série converge quando - 1 < x 4 < 1 , o que é equivalente a | x | < 1 .

Resposta

A representação em série de potências para a função f ( x ) = 3 1 - x 4 é: 3 1 - x 4 = 3 + 3 x 4 + 3 x 8 + 3 x 12 + … ,   | x | < 1

Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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