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Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Exercício 312456789101112131415161718192021222324252627

Enunciado

Calcule o termo geral da expansão em série de potências de ( x - 1 ) da função abaixo

y x = 1 x 2 - 8 x + 15

Passo 1

Se queremos escrever o termo geral em série de potências de x - 1 , precisamos que apareça esse termo na nossa função. Então vamos começar escrevendo que:

x 2 - 8 x + 15 = x - 3 x - 5

E então veja que se escrevermos:

1 x 2 - 8 x + 15 = A x - 3 + B x - 5 = A x - 5 + B x - 3 x - 3 x - 5

E resolvendo o sistema:

A + B = 0

- 5 A - 3 B = 1

Encontramos: A = - 1 2 e B = 1 2 .

Reescreveremos a função assim:

1 x 2 - 8 x + 15 = - 1 2 x - 3 + 1 2 x - 5 = 1 2 1 x - 5 - 1 x - 3

Passo 2

Como queremos que apareça o termo x - 1 , vamos escrever que:

1 2 1 x - 5 - 1 x - 3 = 1 2 1 x - 1 - 4 - 1 x - 1 - 2 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1

E agora repare que podemos escrever essa função como o valor da série geométrica, cuja razão será descoberta a seguir.

Colocando o 2 em evidencia, podemos escrever a serie a assim:

1 2 - x - 1 = 1 2 1 1 - x - 1 2

Vamos fazer a mesma coisa pro 4 :

1 4 - x - 1 = 1 4 1 1 - x - 1 4

E esses termos da forma:

1 1 - a

São exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a 1 . Portanto, podemos escrever que:

1 2 1 1 - x - 1 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n

1 4 1 1 - x - 1 4 = 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

Passo 3

E agora voltando pra expressão de y x :

1 x 2 - 8 x + 15 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1 = 1 2 1 2 1 1 - x - 1 2 - 1 4 1 1 - x - 1 4

Agora vamos escrever a série juntando dos somatórios encontrados no passo anterior,

y x = 1 2 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n - 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

E colocando o termo que queremos x - 1 n em evidência:

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.