UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Antigas, P2, 2022.2, 3
Considere a equação
Mostre que é um ponto ordinário da equação.
Sabendo que uma solução em série de potências em da equação tem fórmula de recorrência
para , encontre os primeiros cinco termos não nulos da solução em condições iniciais e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma equação diferencial ordinária (EDO) com coeficiente variáveis, que é essa coisa bonitinha aí:
E pediu pra gente mostrar que é um ponto ordinário da equação e encontrar os primeiros termos da solução dessa EDO sabendo que sua relação de recorrência é .
Calma, primeiro a gente precisa lembrar que EDO’s desse tipo () possuem soluções por séries de potências. Essa solução, , vai estar centrada em um ponto , que pode ser igual a zero, mas que não pode anular o polinômio que acompanha a segunda derivada (no caso, ) pra ser chamado de ponto ordinário. Sacou?
Já a relação de recorrência é a relação entre os coeficientes da solução em série de potência que encontramos para a EDO. Nesse caso, ele já nos deu a relação. Então, o que a gente vai precisar fazer é atribuir valores de a (pra obter os primeiros termos da solução) na solução geral:
Em seguida, usar as condições iniciais e para obter o valor dos coeficientes que encontrarmos.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar verificando se é um ponto ordinário da equação, como pede a questão. Como nós vimos no passo , basta que seja diferente de para que seja um ponto ordinário. Nossa EDO tem a forma :
Onde , e . Assim, quando , precisamos ter:
Mas quando , temos:
Logo, e, portanto, é um ponto ordinário, como queríamos demonstrar.
Passo 3
Agora vamos avaliar a relação de recorrência da solução em série de potências:
para , vamos encontrar os primeiros cinco termos não nulos da solução apenas atribuindo valores a a partir de . Assim, para , temos:
Para , temos:
Para :
Mas , então:
Continuando, para , temos:
Mas , então:
Agora para , temos:
Como , temos:
Agora vamos olhar o formato da nossa solução geral.
Passo 4
Temos a solução da forma:
Podemos substituir os termos que encontramos na solução para obter:
Aproximando a solução pelos primeiros termos não nulos, temos:
Essa já é a solução, mas a gente também pode colocar em evidência pra ficar mais bonitinho:
Beleza, agora vamos verificar as condições iniciais condições iniciais e .
Passo 5
Para , temos:
Assim, multiplicando os termos, sobra:
Agora pra , temos que verificar a derivada da função no ponto. Derivando , temos:
Em :
Como é a condição inicial, temos:
Substituindo o valor de e na solução do passo , ficamos com:
Logo,
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
é um ponto ordinário