(2.0) Determine uma representação em série de potências centrada em zero das
seguintes funções f(x) e determine o seu raio de convergência.
1.
2.
Passo 1
Fala aí, vamos começar a pensar em como representar a função do item (1) em série de potências. Olha, é bom a gente tentar comparar com a série geométrica, ou seja, tentar achar um termo semelhante a
Olha, se a gente reescrever a nossa função assim
A função não mudou, mas ficou mais fácil ver um termo semelhante ao da série geométrica, beleza?
Ah ok, mas pra que a gente quer comparar com a série geométrica mesmo? Oras, porque a gente sabe como é a representação dela é série de potências:
Bom, substituindo na nossa função, ficaremos com:
Expandindo isso, teremos:
Vamos analisar cada termo da nossa função:
1º termo:
2º termo:
Beleza, então quando a gente somar esses dois termos, alguns fatores vão se repetir ( e o vai aparecer apenas uma vez.
A função, então, vai ficar:
Já o raio de convergência será o mesmo de , logo .
Passo 2
Agora vamos resolver o item (2). Nesse caso, não iremos comparar bem com a série geométrica. Porémmmmm, podemos comparar com uma outra função que já fica bem mais parecida, olha só:
Olha, agora basta deixarmos a nossa função com essa cara, mas como?
Bom, dentro do logaritmo temos , né? Só que a nossa função tem .Oras, vamos dar uma maquiada aí.
Escrevi a mesmíssima coisa, porém com uma carinha mais atraente, não?
Então, teremos:
Show! O raio de convergência, a gente pode descobrir pelo teste da razão:
Resposta
1.
Raio de convergência: 1
2.
Raio de convergência: 1