1. Determine a n , a n ≠ 0 para todo n natural, tal que

∑ n = 0 ∞ a n = 3 ∙ sin ⁡ 3

Passo 1

Pow! A gente quer determinar uma série que igual a um seno?

Cara! O seno tem uma série de potência muuuuito importante e o problema quer que você a use! :D

É essa série aqui ohhh

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

Basta então comparar, bora fazer junto?

Passo 2

Então vamos substituir x por 3 na série do seno ali, assim

sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1

se a gente multiplicar o sin ⁡ 3 por três

3 ∙ sin ⁡ 3 = 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1   →

a gente poderá passar esse 3 do lado de fora, pra dentro do somatório, assim

3 ∙ sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ 3 ∙ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1   →

Por propriedade de potência de mesma base (repete a base e soma os expoentes), a gente tira que

3 ∙ sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1 + 1   →

3 ∙ sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

Passo 3

Voltando então para o enunciado...

∑ n = 0 ∞ a n = 3 ∙ sin ⁡ 3                     →

∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

Essas duas séries aí só são iguais se os temos de uma e de outra forem iguais, ou seja...

a n = - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

Resposta

a n = - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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