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Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Exercício 812345679101112131415161718192021222324252627

Enunciado

  1. Determine a n , a n ≠ 0 para todo n natural, tal que

∑ n = 0 ∞ a n = 3 ∙ sin ⁡ 3

Passo 1

Pow! A gente quer determinar uma série que igual a um seno?

Cara! O seno tem uma série de potência muuuuito importante e o problema quer que você a use! :D

É essa série aqui ohhh

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

Basta então comparar, bora fazer junto?

Passo 2

Então vamos substituir x por 3 na série do seno ali, assim

sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1

se a gente multiplicar o sin ⁡ 3 por três

3 ∙ sin ⁡ 3 = 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1   →

a gente poderá passar esse 3 do lado de fora, pra dentro do somatório, assim

3 ∙ sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ 3 ∙ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1   →

Por propriedade de potência de mesma base (repete a base e soma os expoentes), a gente tira que

3 ∙ sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 1 + 1   →

3 ∙ sin ⁡ 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

Passo 3

Voltando então para o enunciado...

∑ n = 0 ∞ a n = 3 ∙ sin ⁡ 3                     →

∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

Essas duas séries aí só são iguais se os temos de uma e de outra forem iguais, ou seja...

a n = - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

Resposta

a n = - 1 n 2 n + 1 ! 3 2 n + 2

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.