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Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

UFSCAR – Sem campus; Séries e Equações Diferenciais; Simulado 14 2021.1; questão 1

Seja f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n a série de potência com

a 0 = 1 ,       a n =   a n - 1 n ,                 n ≥ 1     .

Calcule f 2 com três casa decimais:

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

Nosso primeiro passo vai ser determinar como podemos representar a série f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n , então vamos avaliar os pontos dados, ou seja, quando:

n = 0 ,     a 0 = 1

n = 1 ,     a 1 =   a 1 - 1 n =   a 0 1 = 1

n = 2 ,     a 2 =   a 2 - 1 n =   a 1 2 = 1 2

n = 3 ,     a 3 =   a 3 - 1 n =   a 2 3 = 1 6

Você conseguiu perceber que só o denominador muda conforme n também altera ? Então, é como se a n pudesse ser escrita em uma “fórmula geral” como a n = 1 n ! .

Então, agora podemos reescrever nossa série como:

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 2

O macete aqui vai ser associar a série que temos com sua derivada! Por exemplo, seja f x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ; então f é analítica para todo x   ∈ R . Logo, a danada da derivada será:

f ' ( x ) = ∑ n = 0 ∞ d d x   x n n ! = ∑ n = 0 ∞ x n - 1 n - 1 ! = ∑ n = 0 ∞ x k k ! = f ( x )

Pera aí, percebeu que f ' x = f ( x ) ?? Isso significa que é verdadeira a afirmação de que f x = c   e x , sendo f 0 = 1 = c .

Então para terminarmos de destruir essa questão, basta adicionarmos a condição dada no enunciado de que f 2 = e 2 = 7,389

E aí, curtiu a resolução? Responde Aí

Resposta

f 2 = 7,389

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.