EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis
Considere a EDO
Usando o método de redução de ordem, resolva a equação, dado que é solução. Determinar uma segunda solução da forma
Passo 1
Temos uma EDO que ele deu uma solução, vamos usar o método da redução de ordem para achar a outra solução.
Geralmente quando ele dá uma solução da EDO ele está querendo que você use redução de ordem, então vamos usar redução de ordem aqui.
Passo 2
Vamos aplicar o método da redução de ordem, para isso vamos ter a outra solução da forma
Então vamos ter
Agora vamos substituir essa solução na EDO, primeiro temos que achar suas derivadas
Passo 3
Agora vamos substituir isso na EDO, nossa EDO é
Arrumando isso vamos ter
Podemos tirar de todos porque ele é sempre diferente de
Como vamos dividir todo mundo por
Passo 4
A próxima coisa que fazemos é trocar esse por para deixar essa nova EDO com uma ordem a menos, ou seja
E vamos ter
Passo 5
Essa nova equação é uma equação linear de ordem, mas repara que neste caso essa EDO é uma EDO separável, que é mais fácil de fazer que a equação linear de ordem.
Vamos trocar por
Agora isolamos
E vamos multiplicar cruzado deixando tudo que tem na esquerda e tudo que tem na direita.
Integrando dos dois lados temos
Que vai ficar
Precisamos achar essa integral
Passo 6
Vamos fazer
Substituindo na integral temos
Essa integral vai ser
Voltando para
Como temos
Passo 7
Vamos voltar para
Podemos fazer
Arrumando isso
Tirando aquele módulo
Podemos fazer
Passo 8
Agora temos que voltar para
Então
Temos que achar aquela integral ali
Passo 9
Vamos fazer por partes
Vamos ter
Passo 10
Vamos ter
Podemos ter quaisquer constantes, então vamos fazer
E não vamos nos importar com a constante isso porque ela aparece normalmente na solução, e também com o , então
Passo 11
A nossa outra solução vai ser
A nossa solução vai ficar