Considere a equação diferencial linear homogênea:
- Verifique que também é solução desta equação.
- Use o método de redução de ordem para obter que também é solução desta equação.
- Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação linear não homogênea:
Escreva a solução geral desta equação não homogênea.
Passo 1
Bem, vamos começar com a letra (a). Para verificarmos se uma função dada é realmente solução da EDO, precisamos substituir na equação e ver se é verdade.
Para fazer isso, precisamos determinar as derivadas e . Vamos fazer isso. Começando com , usando a regra do produto:
Legal, uma já foi. Vamos para segunda derivada agora:
Beleza, agora substituímos:
Então a equação é verdadeira, então é de fato solução 😊
Passo 2
Vamos para a letra (b) agora.
Bem, vimos que uma solução já é . Usando o método da redução de ordem, vamos supor que a outra solução é da forma:
E vamos substituir essa ideia na equação. Para isso, determinamos as derivadas usando a regra do produto. Começamos com a primeira:
OK. Vamos para a segunda derivada agora:
Agora podemos substituir na equação dada no problema. Vai ficar um pouco volumoso, dá a mão:
Agora distribuímos para tentarmos eliminar :
Colocamos , e em evidência:
Simplificando vamos ter:
Então de fato sumiu. Além disso, como , podemos fazer:
Assim, podemos reduzir a ordem do problema considerando e, então, :
Essa EDO que surgiu é do tipo separável. Vamos escrever:
E colocamos tudo que de um lado e tudo que é de outro:
E podemos então integrar dos dois lados:
Para a integral da esquerda vamos ter:
Agora vamos separar a integral da direita em duas:
A partir disso, podemos simplificar, olha só:
Para a outra, temos e sua derivada aparecendo na integral, então convêm fazer a substituição:
Ficando:
Legal, então justando tudo, vamos ter:
Considerando para facilitar:
E então isolamos nosso amigo :
Novamente, para facilitar , vamos ter:
Mas calma lá futuro do país, encontramos , mas precisamos encontrar . Pela definição:
Então, para achar , integramos :
Novamente podemos usar substituição aqui, com:
E teremos:
A letra pediu para mostrar que = é solução. Supomos:
Então, substituindo, vamos ter:
As constantes são todas gerais, ou seja, quaisquer valores delas satisfazem a equação. Tomando e , temos:
Solução do problema. Logo, chegamos onde queríamos 😊
Passo 3
Quase lá, vamos para letra (c) agora!
Como , podemos deixar sozinho:
Assim, procuramos soluções na forma:
Em que é a função da parte não homogênea, então . Substituindo o que o encontramos, temos:
Simplificando, vai ficar:
Show. Temos a missão de resolver esse sisteminha agora. Pegando a primeira equação, vamos ter:
Agora, substituímos na segunda:
E então:
A solução particular vai ser dada por:
Assim, vamos calcular e por integração.
Para calcular essa integral, usamos a integração por partes com:
Assim:
Deixamos as duas integrais assim mesmo, sem constante. Assim, vamos ter:
Para fechar com o título, lembramos que a solução geral vai ser dada pela combinação da solução particular com a homogênea:
Ou, para ficar mais bonito: