Considere a equação diferencial:
Dado que é uma solução da equação, use o método de redução de ordem para determinar uma segunda solução da forma .
Passo 1
Bem bem, ele já deu a ordem, como temos uma solução, o método da redução de ordem permite você encontrar uma solução a partir de outra, vamos fazer o seguinte chute , assim o chute é .
Precisamos derivar esse cara:
Eu tirei esses “”, que mostra a dependência da função em , mas só está implícito, assim facilita as contas.
Substituindo isso na EDO:
Arrumando:
Passo 2
Opa, como só temos derivadas para na EDO, podemos fazer a substituição :
Dividindo tudo por :
Jogando o termo para o lado direito:
Sabemos que , substituindo e separando a EDO:
Integrando de ambos os lados:
As integrais são diretas!
Usando o paranauê chamando e usando a regra da soma de dois logaritmos de mesma base:
Isso só acontece se os termos dentro do logaritmo forem iguais:
Vou tratar que é o caso mais simples(A resposta é a combinação linear das duas soluções, então não tem porque ter constante nessa fase, assim você pode desconsiderar, as constantes aparecerão quando você for mostrar a solução geral, mas se quiser pode continuar com essa constante, vai dar no mesmo)
Sabemos que , substituindo:
Para facilitar, vou supor o seguinte:
Logo:
Assim fica:
Então a solução de é:
Passo 3
Então a solução geral é dada por:
Substituindo:
“E as constantes????? Calma calma, foi a mesma coisa que eu fiz com o anteriormente, a gente pode omitir elas sem problemas, ficam embutidas dentro de e e quando vocês forem substituir as condições iniciais e/ou de contorno, elas aparecerão sem nem você perceber!”