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Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

Considere a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem

x 2 y ' ' - x x + 2 y ' + x + 2 y = 0 ,     x > 0

Sabendo que a função y 1 x = x é uma solução particular dessa equação, aplique o método de redução de ordem para encontrar uma outra solução particular y 2 x da equação dada.

Mostrque que y 1 x e y 2 x são linearmente independetes.

Passo 1

Então pela teoria de redução de ordem, vimos que podemos chutar uma solução baseado em outra da seguinte forma: y 2 x = ϕ x y 1 = ϕ x x .Assim teremos.

y 2 ' = ϕ ' x + ϕ

y ' ' = ϕ ' ' x + 2 ϕ '

Substituindo na equação teremos.

x 2 ϕ ' ' x + 2 ϕ ' - x x + 2 ϕ ' x + ϕ + x + 2 ϕ x x = 0

ϕ ' ' x 2 + 2 ϕ ' x - ϕ ' x 2 + ϕ x + 2 ϕ ' x + 2 ϕ + ϕ x + 2 ϕ = 0

ϕ ' ' x 2 - ϕ ' x 2 = 0

ϕ ' ' - ϕ ' = 0

Demos bastante sorte. Agora temos uma equação bem fácil para resolver.

Passo 2

Nós podemos escrever a equação da seguinte forma.

ϕ ' ' = ϕ '

Agora vamos integrar dos dois lados da equação.

ϕ ' = ϕ

Agora temos uma EDO separável normal que estamos acostumados a trabalhar.

1 ϕ d ϕ = d x

Resolvendo essa EDo simples teremos.

ϕ = e x

Então a nossa outra solução particular será.

y 2 = x e x

Passo 3

O ultimo passo dessa questão é mostrar que essas duas soluções são linearmente independentes. Para isso devemos calcular o Wronskiano dessas funções e mostrar que ele é diferente de zero em pelo menos um ponto.

y 1 = x y 2 = x e x y 1 ' = 1 y 2 ' = e x + x e x

W y 1 , y 2 = x x e x 1 e x + x e x = x e x + x 2 e x - x e x = x 2 e x

Agora fica bem fácil de ver que existem vários pontos onde o Wronskiano vai ser diferente de zero, logo as funções são linearmente independentes.

Resposta

y 2 = x e x

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