Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

UFPE, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 2a

Considere a equação diferencial:

Encontre uma outra solução desta equação pelo método de redução de ordem que não seja vezes uma constante.

Passo 1

Esse tipo de problema é para quando queremos descobrir uma solução quando outra já foi dada. Nós vamos supor que a outra solução é a seguinte:

Passo 2

Agora a gente precisa calcular as derivadas pra substituirmos na EDO:

Passo 3

Agora vamos substituir na equação geral:

Vamos simplificar esse carinha aí:

Passo 4

Agora vamos usar o método propriamente dito, vamos reduzir a ordem fazendo:

Vamos substituir na equação que encontramos no passo anterior:

Agora que encontramos uma EDO Separável e de 1ª ordem, podemos resolver:

Integrando as duas equações:

é uma solução não constante. E assim temos a segunda solução da equação:

Passo 5

Resposta

é também é solução da equação.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0

Se ar² + br + c = 0 tem raízes iguais r1, mostre queComo a última expressão à direita na Eq. (i) é nula quando r = r1, segue que exp(r1t) é uma solução de L[y] = ay′′ + by′ + cy = 0.

Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.

Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é em que c1 é constante.

Considere o problema de valor inicialEncontre as coordenadas do ponto de máximo (tM, yM) em função de b. Descreva a dependência em b de tM e de yM quando b aumenta.