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Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

IME, Cálculo 3, 2021, VF, Q4

Seja a equação de Bessel de ordem meio para x > 0 . Proponha uma mudança de variáveis que a reduza a uma EDO a coeficientes constantes, e conclua que as funções y 1 = x - 1 2 cos ⁡ x e y 2 = x - 1 2 sin ⁡ x são soluções da equação de Bessel de ordem meio.

Passo 1

Fala, pessoal. Nessa prova, a dupla de professores foi meio carniceira por não ter dado a equação, mas a eq. de Bessel de ordem meio é:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 2 2 y = 0 ,           x > 0

Coerente com as soluções dadas, proponhamos mudança de variáveis y = x - 1 2 u x , tal que:

x 2 3 u x - 5 2 4 - 2 ⋅ x - 3 2 2 u ' + x - 1 2 u ' ' + x - x - 3 2 2 u + x - 1 2 u ' + x 2 - 1 4 x - 1 2 u = 0

Multiplicando a EDO pelo fator 4 x 5 2 > 0 , temos:

x 2 3 u - 4 x u ' + 4 x 2 u ' ' + x - 2 x u + 4 x 2 u ' + 4 x 2 - 1 x 2 u = 0

⇒ u ' ' 4 x 4 + u ' - 4 x 3 + 4 x 3 + u 3 x 2 - 2 x 2 + 4 x 4 - x 2 = 0

⇒ 4 x 4 u ' ' + u = 0 ,         x > 0

⇒ u ' ' + u = 0

Taí a EDO a coeficientes constantes.

Obs: Se na prova você não lembrasse da equação, poderia partir dessa equação no rascunho

(porque ela tem solução o seno e o cosseno) e fazer uma mudança de variável para chegar a uma equação cujas soluções fossem y 1 = x - 1 2 cos ⁡ x e y 2 = x - 1 2 sin ⁡ x . (AQUI TEM TRUQUE, RAPÁ)

Passo 2

Temos que mostrar que seno e cosseno são solução, logo:

cos ⁡ x ' ' + cos ⁡ x = - sin ⁡ x ' + cos ⁡ x = - cos ⁡ x + cos ⁡ x = 0

sin ⁡ x ' ' + sin ⁡ x = cos ⁡ x ' + sin ⁡ x = - sin ⁡ x + sin ⁡ x = 0

Como queríamos demonstrar. Assim, a equação de Bessel de ordem meio possui duas soluções:

y 1 = x - 1 2 u 1 = x - 1 2 cos ⁡ x

y 2 = x - 1 2 u 2 = x - 1 2 sin ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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