Cálculo Aplicado – 2ª Atividade Avaliativa – 2021.1 – Prof. Thiago de Souza Pinto
Sabemos que a função é solução da equação diferencial
Obtenha uma outra solução dessa equação tal que é linearmente independente.
Passo 1
Bom, esse problema é para a gente trabalhar com a dependência linear das soluções usando o teorema do Wronskiano. Para isso vamos escrever a nossa EDO nessa forma aqui:
Fazemos isso dividindo a nossa EDO toda por e a gente fica com
Ou, simplificando:
Podemos então dizer que
O teorema nos diz que se e são soluções da equação diferencial com e contínuas em um intervalo aberto , o Wronskiano é diferente de 0 nesse intervalo. Aah e se você não lembra como calcula o Wronskiano é através desse determinante aqui ó:
Bom... O problema é que a gente não sabe quem é o ainda né? Como a gente vai encontrar? Se o problema nos dá uma das soluções, a gente usa o método da redução de ordem. Vem comigo então!
Passo 2
Como as soluções têm de ser linearmente independentes vamos ver o que o Wronskiano nos diz a respeito do . Como o problema nos dá sabemos que então
Como esse cara tem que ser diferente de zero para as soluções serem LI, temos
E aí vemos que a única coisa que podemos dizer por enquanto sobre o é que
Beleza? Guarda isso no coração.
Passo 3
Como a gente conhece o vamos supor que o tem essa cara aqui
Daí a gente precisa achar quem é esse e a gente confere se ele satisfaz as condições do passo anterior. Para ajudar, já vamos calcular as derivadas de :
Escrevendo a nossa EDO para o temos
Usando a forma que a gente supôs sobre o a EDO fica com essa cara aqui
Simplificando aquelas exponenciais ali e distribuindo os produtos temos a coisa simplifica até
Ou
Passo 4
Olha... apesar de a gente ter caído em outra EDO, as coisas vão simplificar se eu chamar aquele de uma outra função
E aí temos
Ou, melhor
Passando tudo de para um lado e tudo para o outro
Agora a gente pode integrar isso e encontrar
Exponenciando dos dois lados
Como e como a exponencial de uma constante é uma outra constante que eu vou chamar de temos
Passo 5
Como encontramos a gente acha o integrando:
E como a gente disse que , temos
Lembrando que esse é uma constante qualquer que só dá para a gente conhecer caso nos seja fornecido algum valor inicial da função ou da sua derivada.
Prontinho, encontramos e com a forma dele a gente vê que a derivada dele não dá para ser igual a ele mesmo. Então, é linearmente independente!Vamos para a próxima?