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Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis

Sabendo-se que y = x 2 é uma solução da equação

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

Determine a solução geral da equação

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 4 ln ⁡ x

Para x > 0

Passo 1

Temos uma EDO que ele deu uma solução, podemos usar o método da redução de ordem para achar a outra solução. Mas repara que essa equação que ele deu é uma equação de Euler, então podemos resolver pela equação de Euler ou pelo método da redução de ordem.

Geralmente quando ele dá uma solução da EDO ele está querendo que você use redução de ordem, então vamos usar redução de ordem aqui, mas se resolvermos a equação de Euler as respostas vão ser as mesmas.

Passo 2

Vamos aplicar o método da redução de ordem, para isso vamos ter a outra solução da forma

y 2 = ϕ x y 1

Então vamos ter

y 2 = ϕ x x 2

Agora vamos substituir essa solução na EDO, primeiro temos que achar suas derivadas

y 2 ' = ϕ ' x 2 + 2 ϕ x

y 2 ' ' = ϕ ' ' x 2 + 2 ϕ ' x + 2 ϕ ' x + 2 ϕ = ϕ ' ' x 2 + 4 ϕ ' x + 2 ϕ

Passo 3

Agora vamos substituir isso na EDO, nossa EDO é

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

x 2 ϕ ' ' x 2 + 4 ϕ ' x + 2 ϕ - 3 x ϕ ' x 2 + 2 ϕ x + 4 ϕ x 2 = 0

ϕ ' ' x 4 + 4 ϕ ' x 3 + 2 ϕ x 2 - 3 ϕ ' x 3 - 6 ϕ x 2 + 4 ϕ x 2 = 0

Arrumando isso vamos ter

ϕ ' ' x 4 + ϕ ' x 3 = 0

Como queremos um valor qualquer de x vamos ter

ϕ ' ' x + ϕ ' = 0

Passo 4

A próxima coisa que fazemos é trocar esse ϕ por u para deixar essa nova EDO com uma ordem a menos, ou seja

u = ϕ '

E vamos ter

u ' x + u = 0

Passo 5

Essa nova equação é uma equação linear de 1 ª ordem, mas repara que neste caso essa EDO é uma EDO separável, que é mais fácil de fazer que a equação linear de 1 ª ordem.

Vamos trocar u ' por d u d x

d u d x x + u = 0

Agora isolamos d u d x

d u d x x = - u

E vamos multiplicar cruzado deixando tudo que tem u na esquerda e tudo que tem x na direita.

d u u = - d x x

Integrando dos dois lados temos

∫ d u u = - ∫ d x x

Que vai ficar

ln ⁡ u = - ln ⁡ x

Aqui não precisamos nos preocupar com a constante, isso porque no fim da solução ela aparece naturalmente quando fazemos C 1 y 1 + C 2 y 2

Vamos ter

u = x - 1

Como ele disse que x > 0 temos

u = 1 x

Vamos considerar u > 0

u = 1 x

Passo 6

Agora temos que voltar para ϕ ,

ϕ ' = u

ϕ ' = 1 x

E vamos ter

ϕ = ln ⁡ x

Como x > 0 temos

ϕ = ln ⁡ x

E achamos a segunda solução

y 2 = x 2 ln ⁡ x

Passo 7

A solução da nossa EDO homogênea vai ser

y h = C 1 y 1 + C 2 y 2

y h = C 1 x 2 + C 2 x 2 ln ⁡ x

Passo 8

Agora temos que achar a solução da EDO

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 4 ln ⁡ x

Lembrando que a solução vai ser

y = y h + y p

Onde y h é a solução da homogênea associada e y p é a solução da particular.

A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros, já temos y 1 e y 2 da homogênea, temos que achar

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Primeiro temos que deixar só y ' ' ali quando usamos a variação de parâmetros

y ' ' - 3 x y ' + 4 x 2 y = x 2 ln ⁡ x

Onde

f 1 ' x = y 2 x B x M

E

f 2 ' x = - y 1 x B x M

Onde B x é aquela função do lado direito da EDO, e M vai ser

M = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

Vamos achar aqui rapidinho M e B x porque vamos usar para achar f 1 e f 2

B x = x 2 ln ⁡ x

E

M = x 2 ' x 2 ln ⁡ x - x 2 ln ⁡ x ' x 2

M = 2 x x 2 ln ⁡ x - 2 x ln ⁡ x + x 2 x x 2

M = 2 x 3 ln ⁡ x - 2 x ln ⁡ x + x x 2

M = 2 x 3 ln ⁡ x - 2 x 3 ln ⁡ x - x 3

M = - x 3

Passo 9

Vamos começar achando f 1

f 1 ' x = x 2 ln ⁡ x x 2 ln ⁡ x - x 3

f 1 ' x = - x ln ⁡ x 2

Vamos ter

f 1 x = - ∫ x ln ⁡ x 2 d x

Passo 10

Vamos resolver essa integral

∫ x ln ⁡ x 2 d x

Usando a integração por partes fazendo

ln ⁡ x 2 = u → d u = 2 ln ⁡ x x d x

d v = x d x → v = x 2 2

E vamos ter

∫ x ln ⁡ x 2 d x = x 2 2 ln ⁡ x 2 - ∫ x 2 2 2 ln ⁡ x x d x   = x 2 2 ln ⁡ x 2 - ∫ x ln ⁡ x d x  

Temos que resolver aquela nova integral que apareceu

∫ x ln ⁡ x d x  

Vamos por partes de novo

ln ⁡ x = u → d u = 1 x d x

d v = x d x → v = x 2 2

E vamos ter

∫ x ln ⁡ x d x   = x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 2 1 x d x = x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4

Então vamos ter

∫ x ln ⁡ x 2 d x = x 2 2 ln ⁡ x 2 - ∫ x ln ⁡ x d x  

Que vai ser

∫ x ln ⁡ x 2 d x = x 2 2 ln ⁡ x 2 - x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 = x 2 2 ln ⁡ x 2 - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4

Passo 11

A nossa função f 1 vai ser

f 1 x = - x 2 2 ln ⁡ x 2 - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4

f 1 x = - x 2 2 ln ⁡ x 2 + x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4

Vamos agora a f 2

f 2 ' x = - x 2 x 2 ln ⁡ x - x 3

f 2 ' x = x ln ⁡ x

Então

f 2 x = ∫ x ln ⁡ x d x

Já vimos o resultado dessa integral, então f 2 vai ser

f 2 x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4

Passo 12

A nossa solução particular vai ser

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = - x 2 2 ln ⁡ x 2 + x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 x 2 + x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 x 2 ln ⁡ x

y p = - x 4 2 ln ⁡ x 2 + x 4 2 ln ⁡ x - x 4 4 + x 4 2 ln ⁡ x 2 - x 4 4 ln ⁡ x

y p = x 4 4 ln ⁡ x - x 4 4

E a solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 x 2 + C 2 x 2 ln ⁡ x + x 4 4 ln ⁡ x - x 4 4

Resposta

y = C 1 x 2 + C 2 x 2 ln ⁡ x + x 4 4 ln ⁡ x - x 4 4

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