Sabendo que é uma solução da EDO homogênea associada a
determine sua solução geral para
Passo 1
Para resolver esse tipo de problema em que já temos uma solução, vamos considerar a segunda solução como sendo
Para achar a função , vamos substituir na EDO. Para isso, determinamos as derivadas:
Passo 2
Beleza, agora substituímos:
Vamos simplificar isso aí:
Passo 3
Agora, como , podemos dividir tudo por :
E temos outra EDO, só que dá para reduzir sua ordem fazendo :
Dividindo tudo por , temos:
Repare que essa EDO está na forma:
Ou seja, é uma EDO homogênea linear com
Como é uma EDO linear, a solução será na forma:
Passo 4
Começamos com o fator integrante , ele é dado por:
Agora, calculamos a integral:
Legal, então a solução em vai ser:
Passo 5
Como vimos, , então:
A integral da esquerda, resolvemos por partes:
Ou seja:
Em que, por partes novamente:
Assim:
A integral da direita será:
E, portanto:
Passo 6
Achamos , agora a segunda solução vai ser:
Com isso, a solução geral do problema será dada pela combinação linear das duas soluções, ou seja:
Com isso: