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Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

Considere a equação diferencial

y ' ' - 2 t y ' + 2 t 2 y = 0 ,     t > 0

  1. Determine a solução geral da equação dada, sabendo que y 1 t = t é uma solução.
  2. Encontre a solução geral da EDO

y ' ' - 2 t y ' + 2 t 2 y = 1 t ,     t > 0

Passo 1

Show, então vamos começar pela letra (a). Sabemos que y 1 t = t é uma solução. Então, teremos que a outra solução será na forma

y 2 t = u t

com u ( t ) a determinar. Para achar, vamos substituir na equação:

y ' ' - 2 t y ' + 2 t 2 y

u t ' ' - 2 t u t ' + 2 t 2 u t = 0

Precisamos derivar. Vamos fazer isso. Pela regra do produto,

u t ' = u ' t + u ,

u t ' ' = u ' t + u ' = u ' ' t + u ' + u ' = u ' ' t + 2 u '

Substituindo, vai ficar:

u ' ' t + 2 u ' - 2 t u ' t + u + 2 t u = 0

Agora vamos simplificar isso aí:

u ' ' t + 2 u ' - 2 u ' - 2 u t + 2 u t = 0

u ' ' t = 0

Então, para ser válido para todo t , precisamos que:

u ' ' = 0

Para achar u , vamos integrar duas vezes u ' ' :

u ' = ∫ 0 d t = K 1

u = ∫ K 1 d t = K 1 t + K 2

Assim, nossa solução será:

y 2 t = u ⋅ y 1 t = K 1 t + K 2 t = K 1 t 2 + K 2 t

Escolhemos a parte que não é da mesma forma que y 1 t , como y 2 t = t 2 .

A solução geral será a combinação linear das soluções, mas para montá-la precisamos ter certeza que o que as duas soluções são LI. Para isso, calculamos o determinante:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = t t 2 1 2 t = 2 t 2 - t 2 = t 2 > 0

Como t > 0 , então o determinante nunca vai ser nulo e as duas soluções L I . Se desse diferente, teríamos que escolher outro valor para y 2 t dentro da forma geral

y 2 t = K 1 t 2 + K 2 t .

Como deu LI, podemos montar a solução geral

y t = C 1 y 1 t + C 2 y 2 t

y t = C 1 t + C 2 t 2 ,     t > 0

com a combinação das soluções encontradas. 😊

Passo 2

Agora vamos para a letra (b). Temos a equação:

y ' ' - 2 t y ' + 2 t 2 y = 1 t

y ' ' - 2 t y ' + 2 t 2 y = P t

A solução homogênea está associada da equação da letra (a). De lá vimos que: y h t = C 1 t + C 2 t 2

Já a parte particular 1 / t não está na forma mais simples como seno, cosseno, exponencial ou polinômio. Então, vamos ter que usar o método da variação de parâmetros. Procuramos uma solução na forma:

y p t = f 1 y 1 t + f 2 y 2 t

y p t = f 1 t + f 2 t 2

Sendo

f 1 = - ∫ y 2 t ⋅ P t W d t ,

f 2 = ∫ y 1 t ⋅ P t W d t

Maneiro, vamos calcular isso aí.

f 1 = - ∫ t 2 ⋅ 1 / t t 2 d t = - ∫ 1 t d t = - ln ⁡ t

f 2 = ∫ t ⋅ 1 / t t 2 d t = ∫ d t t 2 = - 1 t

Então, nossa solução particular vai ser: y p t = - t ln ⁡ t - 1 t t 2  

y p t = - t ln ⁡ t - t  

E a solução geral, dada pela soma da particular com a homogênea, vai ser:

y t = y h t + y p t

y t = C 1 t + C 2 t 2 - t ln ⁡ t - t ,     t > 0

Pronto. 😊

Resposta

(a)

y t = C 1 t + C 2 t 2 ,     t > 0

(b)

y t = C 1 t + C 2 t 2 - t ln ⁡ t - t ,     t > 0

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