Considere a equação diferencial:
- Determine de modo que seja solução da EDO acima.
- Considerando o valor de determinado no item determine uma segunda solução linearmente independente para a equação diferencial.
Passo 1
- Bem, aqui não tem muito segredo. Se ele me deu uma solução, o que a gente deve fazer é calcular as suas derivadas e depois jogar na equação !
- Considerando o agora a nossa equação fica
Então vamos começar a calcular as suas derivadas que vamos precisar de :
Calculando a derivada de segunda ordem
Bem simples, neh? :D
Passo 2
Voltando para a
E substituindo esses caras que determinamos
Dividindo todos os termos por , teremos
Colocando em evidência
Como , só pode ser , prtanto
Passo 3
Como a primeira solução foi , a outra solução para essa equação que estamos buscando vai ser algo parecido: .
Mas por que essa solução? Na verdade não sabemos ainda se vai funcionar. Aqui a gente trabalha muito com o “chutômetro”.
Mas embora seja um chute, sempre é aconselhável pegar dessa forma (a grande maioria das vezes vai funcionar! :D)
Então bora calcular as derivadas dela e ver se vai funcionar?!
Passo 2
Calculando as derivadas dela não se esquecendo de aplicar a regra do produto:
Calculando a segunda derivada, lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas...
Calculando a primeira
A segunda parte da derivada note que já foi calculada, então
Passo 3
Voltando com tudo para dentro da EDO
Ficaremos após substituir os caras que acabamos de encontrar
Colocando em evidência os termos de cada um dos três termos
E agora dividindo por todo mundo
Efetuando o produto entre os parênteses
Juntando os mesmos termos
Colocando em evidência o termo e o termo
Essa é a equação final que a gente tem que resolver!
Passo 4
Como podemos resolver essa equação?
Pow, perceba antes da mais nada que a gente não tem o termo nessa expressão, então a gente pode chamar e teremos que , logo
Percebeu o que fizemos? Saímos de uma coisa mais complexa, para uma EDO de primeira ordem que a gente mata fazendo variáveis separáveis, Me acompanha aqui!
Passo 5
Jogando esse termo do pro lado de lá da equação:
Passando esse termo multiplicando pro outro lado
Fazendo o mesmo com o termo
Lembrando que , a gente pode meio que pegar esse aí e passar para o outro lado multiplicando
Calculando a integral em ambos os lados
A integral do lado esquerdo é
Já a integral do lado direito, se a gente fazer uma manipulaçãozinha:
Separando as integrais
Lembrando que é a constante de integração, escrita de maneira a simplificar as contas.
Logo, igualando os dois lados que integramos
Elevando ambos os lados a exponencial
Logo, se a gente multiplicar esses termos ganhamos
Passo 6
Não acabamos o problema ainda, pois devemos retornar a , o que não é complicado lembrando que , teremos
Tirando a constante da integral
E notando que
Voltando para o nosso problema, a outra solução para aquela EDO é
Multiplicando
lembrando que produto de potência de mesma base, repete a base e soma os expoentes
Como já foi a solução dada no problema, a outra solução linearmente independente é , ou, tomando o