Dê a solução geral de:
( é uma solução da equação homogênea associada)
Passo 1
Eitaaaa! Que bicho estranho é esse?
Calma, vamos classificar essa equação, nesse primeiro momento, para podermos encontrar a solução de maneira racional (sem sair chutando o balde por ver algo assim).
Por essa EDO envolver o como maior derivada, podemos concluir que ela é de 2ª ordem. Além disso, tá vendo que existe um termo que não acompanha nem nem suas derivadas?
Pois é, esse cara está fazendo com que nossa EDO seja não homogênea, já que ela é diferente de zero.
Conclusão: estamos lidando com um caso de EDO de 2ª ordem não homogênea.
Passo 2
Queremos encontrar uma solução geral. Lembra dessa solução?
Sendo que ele já deu uma solução que está presente na homogênea associada. Hmmmm, caímos num caso de redução de ordem.
Se :
Passo 3
Ora bolas, se estamos assumindo que seja solução, ele deve respeitar a relação presente na EDO homogênea associada. Pra gente ter certeza, devemos calcular as suas derivadas e substituir na EDO.
Substituindo na equação homogênea:
Com isso, você faz as multiplicações necessárias e agrupa os termos semelhantes, ficando com:
Passo 4
“Xiiii, caí no mesmo problema!”
Nada disso! Deixe-me ajeitar essa EDO pra ver se você reconhece qual será o próximo passo...
Aaaaah, vamos substituir esse por outra variável, porque aí teremos uma EDO linear de 1ª ordem! Fazendo :
Passo 5
Temos que identificar e :
Agora, calcular
Muita calma nessa hora, pois vou integrar essas coisas separadamente. Quer saber o porquê? Dá uma olhada:
Neste caso, precisaremos de uma substituição. Adotando
Portanto,
Agora, calcular
Além disso:
Passo 6
Atenção! Encontramos quem é , mas queremos , tal que
Onde pertence aos reais. Sendo assim, podemos escolher .
Ufa! Bora encontrar (finalmente) o .
Passo 7
Bom, agora chegou a parte mais chatinha. Devemos sempre deixar o sozinho (para evitar erros bobos), então:
Como os coeficientes da nossa equação não são constantes (números), teremos de usar o método da variação dos parâmetros, onde:
Onde são as soluções da homogênea. Temos então:
Lembra das fórmulas de e ?
Onde e
Eita! Pra fazer aquela integral, a gente vai precisar fazer uma integração por partes, lembrando que:
Para , adotaremos :
Passo 8
Indo direto ao ponto:
ALELUIAAAAAA. Agora, solução geral:
Perceba que também é uma constante, então continuarei chamando esse termo de .