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Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

A função y 1 x = e 2 x é solução da equação y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0 .

a) Usando o método de redução de ordem determine uma solução y 2 x (que não seja a solução trivial).

b) Mostre que y 1 x e y 2 x formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

O Método de redução de ordem é nada mais nada menos do que supor, conhecendo uma solução, uma nova solução que vai ser a que a gente já conhecia um pouco modificada, isto é multiplicada por uma ϕ x . Então se conhecemos a solução y 1 = e 2 x vamos supor y 2 = ϕ x e 2 x .

Passo 2

Derivando y 2 e substituindo na equação temos

e 2 x 4 ϕ x + 4 ϕ ' x + ϕ ' ' x - 4 e 2 x 2 ϕ x + ϕ ' x + 4 e 2 x ϕ x = 0

  4 e 2 x ϕ x + 4 e 2 x ϕ ' x + e 2 x ϕ ' ' x - 8 e 2 x ϕ x + - 4 e 2 x ϕ ' x + 4 e 2 x ϕ x = 0

e 2 x ϕ ' ' x = 0

Como e 2 x ≠ 0

ϕ ' ' x = 0 ⇒ ϕ ' x = C ⇒ ϕ x = C x

Logo y 2 = C x e 2 x uma possível solução.

Passo 3

Vamos verificar se y 2 = C x e 2 x é mesmo uma solução. Derivando duas vezes e substituindo na equação:

4 C x e 2 x + 4 C e 2 x - 4 2 C x e 2 x + C e 2 x + 4 C x e 2 x = 0

8 C x e 2 x + 4 C e 2 x - 8 C x e 2 x - 4 C e 2 x = 0

0 = 0

Então concluímos que é mesmo uma solução.

Passo 4

Precisamos agora mostrar que y 1 = e 2 x e y 2 = C x e 2 x formam um conjunto fundamental de soluções. Ou seja, precisamos saber se elas são LI. Vamos de wronskiano então?

W e 2 x C x e 2 x 2 e 2 x C 2 x + 1 e 2 x = C 2 x + 1 e 4 x - 2 C x e 4 x = e 4 x 2 C x + C - 2 C x = C e 4 x ≠ 0

O que mostra que são LI.

Resposta

  1. y 2 x = C x e 2 x
  2. Formam um conjunto fundamental de soluções

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