Sabendo que é solução da equação
Determine, para , a solução geral de:
E determine a solução desta última equação que satisfaz o problema de condições iniciais com .
Passo 1
Bem bem, ele já deu a ordem, como temos uma solução, o método da redução de ordem permite você encontrar uma solução a partir de outra, vamos fazer o seguinte chute , assim o chute é .
Precisamos derivar esse cara:
Eu tirei esses “”, que mostra a dependência da função em , mas só está implícito, assim facilita as contas.
Substituindo isso na EDO:
Arrumando:
Passo 2
Opa, como só temos derivadas para na EDO, podemos fazer a substituição :
Integrando de ambos os lados:
As integrais são diretas!
Usando o paranauê chamando e usando a regra da soma de dois logaritmos de mesma base:
Isso só acontece se os termos dentro do logaritmo forem iguais:
Vou tratar que é o caso mais simples(A resposta é a combinação linear das duas soluções, então não tem porque ter constante nessa fase, assim você pode desconsiderar, as constantes aparecerão quando você for mostrar a solução geral, mas se quiser pode continuar com essa constante, vai dar no mesmo)
Sabemos que , substituindo:
Para facilitar, vou supor o seguinte:
Logo:
Assim fica:
Então a solução de é:
Passo 3
Então a solução geral é dada por:
Substituindo:
“E as constantes????? Calma calma, foi a mesma coisa que eu fiz com o anteriormente, a gente pode omitir elas sem problemas, ficam embutidas dentro de e e quando vocês forem substituir as condições iniciais e/ou de contorno, elas aparecerão sem nem você perceber!”
Passo 4
Vamos agora resolver o sistema não homogêneo! Vamos usar a variação de Parâmetros! Pela teoria de variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:
Que fica:
Então vamos calcular :
Podemos desenhar a matriz para facilitar a memória:
Daí temos que:
Onde
(Você pode usar a chamada regra de Kramer para resolver isso, eu só multiplico pelo inverso mesmo haha, da uma olhada na teoria na parte de de demonstração que tá lá!)
Assim podemos calcular:
Assim temos que
E do mesmo jeito:
Passo 5
Substituindo:
Da para resolver essa integral com uma integração por partes:
Assim fica:
Passo 6
Agora para o próximo:
Novamente por integração por partes:
Assim fica:
Então a solução da particular é:
Substituindo:
Passo 7
A solução geral é dada por:
Assim fica:
Tchã!
Passo 8
Agora só falta encontrar as constantes! Vamos usar as condições iniciais ok?
Então temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:
FINALMENTE, a solução será: