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Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

Teste 1: Considere a equação

y ' ' - 2 y ' + y = e x 1 + x 2

Se y x é solução desta equação tal que y 0 = y ' 0 = 0 , então o valor de y 1 é:

  1. e π 4
  2. - e ln ⁡ 2 2
  3. e ln ⁡ 2 2 - e π 4
  4. 0
  5. - e ln ⁡ 2 2 + e π 4

Passo 1

Primeiro então vamos resolver a EDO e depois ver que valor é esse, ok? Essa EDO pode ser resolvida por variação de parâmetro, onde primeiro temos que encontrar a solução da homogênea:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

Por comparação, a equação característica é:

r 2 - 2 r + 1 = 0

Onde resolvendo por báskara:

r 1 = 1

r 2 = 1

Logo, a resposta dessa parte homogênea será:

y h = C 1 e x + C 2 x e x

Passo 2

Para encontrar a solução particular, chamaremos esse e x = y 1 enquanto y 2 = x e x . A solução particular então é dada por:

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Onde f 1 e f 2 são...

f 1 = ∫ y 2 B x M d x

f 2 = ∫ - y 1 B x M d x

Onde B x vem da EDO:

y ' ' - 2 y ' + y = e x 1 + x 2   →         B x = e x 1 + x 2

Enquanto M é Wronskiano das soluções fundamentas y 1 e y 2 ...

M = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e x x e x e x e x + x e x =

e x e x + x e x - x e 2 x =

e 2 x + x e 2 x - x e 2 x =

e 2 x

Então, podemos encontrar essas funções f 1 e f 2 ...

f 1 = ∫ x e x e x 1 + x 2 e 2 x d x = ∫ x e 2 x 1 + x 2 e 2 x d x =

∫ x 1 + x 2 d x =

ln ⁡ 1 + x 2 2

Não precisa colocar a constante de integração ;o.

f 1 = ∫ - e x e x 1 + x 2 e 2 x d x = ∫ - e 2 x 1 + x 2 e 2 x d x =

∫ - 1 1 + x 2 d x =

- arctan ⁡ x

Logo, a solução particular será...

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = ln ⁡ 1 + x 2 2 e x - arctan ⁡ x x e x

Passo 3

A solução geral da Edo será:

y = y h + y p   →

y = C 1 e x + C 2 x e x + ln ⁡ 1 + x 2 2 e x - arctan ⁡ x x e x

Para descobrir C 1 e C 2 , basta aplicar as condições iniciais:

y 0 = y ' 0 = 0

y 0 = C 1 = 0

E...

y ' = C 1 e x + C 2 x e x + C 2 e x + ln ⁡ 1 + x 2 2 e x + x 1 + x 2 e x - x e x 1 + x 2 + arctan ⁡ x x e x + arctan ⁡ x e x

y ' 0 = C 2 1 = 0

C 2 = 0

Logo a solução será...

y + ln ⁡ 1 + x 2 2 e x - arctan ⁡ x x e x

Passo 4

Para acabar, quem é a solução em y 1 ?

y 1 = + ln ⁡ 2 2 e - arctan ⁡ 1 e 1

y 1 = ln ⁡ 2 2 e - π e 4

Resposta

y 1 = e ln ⁡ 2 2 - π e 4

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