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Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

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Enunciado

Teste 9: Seja a equação

x 2 y ' ' + 2 x y ' - 2 y = 0

Sabendo que y 1 x = x é uma solução da equação, seja y x a solução da equação que satisfaz as condições iniciais y 1 = 3 e y ' 1 = 1 . Assinale a alternativa que tem o valor y 2 .

  1. 27 6
  2. 25 4
  3. 29 6
  4. 15 3
  5. 23 9

Passo 1

Podemos resolver essa EDO por redução de ordem, onde a nossa primeira tarefa é encontrar a solução y 2 da EDO. De acordo com a nossa amada teoria...

y 2 x = ϕ x y 1 x

y 2 x = ϕ x x

Partiu substituir essa segunda solução na EDO e verificar quem é a função ϕ x ?

Passo 2

Antes de substituir, porém, devemos derivar uma :

y 2 ' = ϕ x + ϕ ' x x →

y 2 ' ' = ϕ ' x + ϕ ' x + ϕ ' ' x x   →

y 2 ' ' = 2 ϕ ' x + ϕ ' ' x x

Agora é só substituir mesmo...

x 2 y ' ' + 2 x y ' - 2 y = 0   →

x 2 2 ϕ ' x + ϕ ' ' x x + 2 x ϕ x + ϕ ' x x - 2 ϕ x x = 0   →

2 x 2 ϕ ' x + ϕ ' ' x x 3 + 2 x ϕ x + 2 x 2 ϕ ' x - 2 x ϕ x = 0     →

4 x 2 ϕ ' x + ϕ ' ' x x 3 = 0     →

ϕ ' ' x + 4 x ϕ ' x = 0     →

Agora que vem a redução de ordem em si! Vem comigo !

Passo 3

Chamando...

u x = ϕ ' x

u ' x = ϕ ' ' x

E substituindo...

u ' x + 4 x u x = 0     →

u ' x = - 4 x u x     →

Podemos resolver por separáveis:

d u u = - 4 x d x     →

ln ⁡ u = - 4 ln ⁡ x     →

u = 1 x 4

Lembrando que queremos o ϕ , podemos encontra-lo da nossa igualdade...

u x = ϕ ' x   →

ϕ x = ∫ 1 x 4   d x

ϕ x = - 1 3 x 3

Então...

y 2 x = ϕ x y 1 x   →

y 2 x = - 1 3 x 3 x = - 1 3 x 2

E a solução geral é:

y = C 1 x - C 2 1 3 x 2

Passo 4

Essa é a solução geral, mas ainda não respondemos a nossa questão. Substituindo as condições iniciais: y 1 = 3 e y ' 1 = 1 ...

y 1 = C 1 1 - C 2 1 3 = 3     →           C 1 = 3 + C 2 3

y ' 1 = C 1 + 2 C 2 1 3 = 1

3 + C 2 3 + 2 C 2 3 = 1   →

3 + C 2 = 1   →         C 2 = - 2

C 1 = 3 - 2 3 = 7 3

Então a nossa solução geral é...

y = 7 3 x + 2 1 3 x 2 →

e

y 2 = 14 3 + 1 6 = 29 6

Resposta

c ) 29 6

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