A Figura mostra um pêndulo de comprimento L   com uma bolinha de massa M . A bolinha é presa a uma mola de constante de força k , como mostrado. Quando a bolinha está diretamente abaixo do suporte do pêndulo, a mola está frouxa.

a)Seja θ o ângulo entre a haste a vertical. Para θ pequeno temos que d 2 θ d t 2 = - α θ onde α > 0 .Calcule o período do pendulo em função de α .

b)O diagrama de forças é apresentado na figura ao lado. Calcule α em função d e   k ,   L   e   M . Assuma que x = L θ .

c)A partir do resultado anterior obtenha o período do pendulo se k   ≈   0 .

Dados: Para θ muito pequeno: s e n θ ≈ θ   e   t a n θ ≈ θ .

Passo 1

a)

A equação que temos é a:

d 2 θ d t 2 = - α θ

d 2 θ d t 2 + α θ = 0

Sabendo que:

d 2 θ d t 2 = θ ¨

Temos:

θ ¨ + α θ = 0

Que é uma EDO no formato que nós conhecemos. Assim:

ω = α = 2 π T → T = 2 π α

Passo 2

b):

Pela figura, vemos que as forças que agem na direção horizontal são:

- k x - T s e n θ = M a x

Quanto vale a tensão? Podemos descobrir isso fazendo o equilíbrio vertical das forças:

T c o s θ - M g = 0 → T = M g c o s θ

Assim, na primeira equação:

- k x - M g t g θ = M a x

Como para pequenos ângulos:

t g θ ≈ θ

E do enunciado:

x = L θ :

M a x = - k L θ - M g θ

E:

a x = x ¨ = L θ ¨

M L θ ¨ = - k L θ - M g θ

Assim:

θ ¨ + θ k M + g L = 0

Assim:

α = k M + g L

Passo 3

c)

Se k ≈ 0 :

α = g L

Substituindo na expressão do período antes calculada:

T = 2 π α = 2 π g L = 2 π L g

Resposta

a)

T = 2 π α

b)

α = k M + g L

c)

T = 2 π L g

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