Uma massa suspensa por um fio está em repouso na posição de equilíbrio quando em t = 0 recebe um impulso que faz com que se mova no sentido anti-horário (positivo), atingindo um ângulo máximo de 15 ° . Suas oscilações subsequentes levam dois segundos para completar cada ciclo. A função que descreve corretamente seu movimento é:

(a) θ t = 15 ° cos ⁡ π t   - π 2

(b) θ ( t )   =   ( 15 ° )   cos ⁡ 2 π t

(c) θ t = 15 ° cos ⁡ 2 π t   + π 2

(d) θ t = 30 ° cos ⁡ π t   - π 2

(e) θ t = 15 ° cos ⁡ 4 π t   - π 2

Passo 1

Bem, temos que a posição angular em função do tempo de um pêndulo simples é:

θ t = θ m á x cos ⁡ ( ω t + φ )

De cara, pela massa ter atingido um ângulo máximo de 15 ° , podemos ver que sua amplitude ( θ m á x ) será 15 ° .

Passo 2

Como ω = 2 π T , onde T é o período de oscilação do movimento e o enunciado diz que as oscilações subsequentes levam dois segundos para completar cada ciclo:

ω = 2 π 2 = π   r a d / s

Passo 3

Então, por enquanto, temos que:

θ t = ( 15 ° ) cos ⁡ ( π t + φ )

Vamos achar o φ !!

Para t = 0 :

θ 0 = 15 ° cos ⁡ φ = 0

cos ⁡ φ = 0 → φ = ± π 2

Derivando θ ( t ) em relação ao tempo:

θ ˙ t = v 0 L = - ( 15 ° ) π s e n ⁡ ( π t + φ )

Já que no ponto inicial, tem-se um v 0 = ω L → ω = v 0 L . E é positivo, pois está no sentido anti-horário, adotado como positivo na questão. Com isso, para o termo - ( 15 ° ) π s e n ⁡ ( π t + φ ) ser positivo, s e n ⁡ ( π t + φ ) < 0 . Logo:

φ = - π 2

Nossa função fica:

θ t = ( 15 ° ) cos ⁡ π t - π 2

Resposta

Alternativa (a).

Exercícios Resolvidos de Pêndulos Simples

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