O pêndulo físico ilustrado na figura ao lado é composto por uma barra retilínea e homogênea, de comprimento e massa . Tal pêndulo oscila sob ação da gravidade em torno da sua posição de equilíbrio (linha tracejada vertical), tendo como ponto de suspensão o ponto , localizado no extremo superior da barra. Considere que a aceleração da gravidade no local é constante e representada por , como ilustrada na figura. Despreze quaisquer efeitos de atrito e resistência do ar. Nestas circunstâncias:

(a) Calcule o momento de inércia I deste pêndulo físico com relação ao ponto de suspensão . Dado: o momento de inércia da barra com relação a um eixo perpendicular à barra (ou seja, ao plano da página) e passando pelo seu centro de massa é

(b) Calcule o torque da força peso em relação ao ponto de suspensăo para o caso em que a barra faz um ângulo com a vertical. Expresse seu resultado para em termos de , e.

(c) Considere a aproximação de pequenas oscilações (onde ) e use a segunda lei de Newton para rotações para mostrar que o ângulo satisfaz uma equação do tipo oscilador harmônico. Em seguida, use tal equação para calcular o período das pequenas oscilações deste pêndulo fisico. Expresse seu resultado para em termos de e .

(b) Calcule o torque da força peso em relação ao ponto de suspensăo para o caso em que a barra faz um ângulo com a vertical. Expresse seu resultado para em termos de , e.

Vamos fazer um diagrama de forças:

O torque da força peso em relação ao eixo é dado por:

O é o vetor que vai do eixo de rotação até o ponto de aplicação da força. Como a força peso é aplicada no centro de massa, temos que

Note que a força peso faz o pêndulo girar no sentido horário, por convenção, esse é o sentido negativo. Isso também pode ser visto pela regra da mão direita. É só colocar a mão na direção e sentido do vetor e depois fechar a mão em direção ao vetor ,e então seu dedão aponta para dentro da página e o movimento que você fez com os dedos é no sentido horário.

Então o módulo do torque é:

E o sentido é horário.

c) Considere a aproximação de pequenas oscilações (onde ) e use a segunda lei de Newton para rotações para mostrar que o ângulo satisfaz uma equação do tipo oscilador harmônico. Em seguida, use tal equação para calcular o período das pequenas oscilações deste pêndulo físico. Expresse seu resultado para em termos de e .

A segunda lei de Newton para rotações é

Como já sabemos o e o , vamos substituir:

Arrumando u pouco:

Usando a aproximação de ângulos pequenos:

Beleza, mas lembra que é a aceleração angular, então

E essa é uma equação parecida com a equação do oscilador harmônico. Para ficar mais parecida ainda podemos escrever:

E aí:

Tá a cara do oscilador harmônico! rsrs

Aí agora ele pediu pra gente achar o período dessas oscilações. Então, a frequência angular, , é dada por:

Vimos que:

Então

Prontinho!!