UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 8
Um peso desconhecido é preso a uma das extremidades de uma mola e prova uma elongação da mola de uma distância , na posição de equilíbrio. Mostre que, nestas condições, se o peso for colocado para oscilar em MHS, o período é o mesmo de um pêndulo simples de comprimento .
(Obs: considere a mola de massa desprezível).
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
O que está sendo descrito aqui é a situação em que penduramos uma massa qualquer em uma mola de massa desprezível. Normalmente, a posição de equilíbrio é igual ao comprimento natural da mola sem estar esticada, nestas condições a posição de equilíbrio é deslocada. Para visualizarmos esta afirmação vamos partir da segunda lei de Newton
em que é a força resultante que atua sobre o corpo de massa gerando uma aceleração . O enunciado indica que a variação da posição de equilíbrio é exatamente . Saca só o que a segunda lei de Newton nos dá se colocarmos o sistema para oscilar!
Passo 2
Se puxarmos um pouco o sistema em um deslocamento , temos que a força resultante sobre a partícula é dada por
usando que a aceleração é dada por
Temos que a equação diferencial que domina este movimento é a seguinte
dividindo ambos os lados por , temos que
O segredo para demonstrarmos o que queremos é fazer uma mudança de variável! saca só!
Passo 3
Vamos evidenciar o termo da seguinte maneira
analisar a evolução da variável
note que como estamos apenas somando uma constante, temos que
e
de forma que obtemos a seguinte equação diferencial
que é exatamente a equação de um oscilador harmônico! Mas, com a posição de equilíbrio deslocada de uma quantidade
Vamos usar essa informação para obter a nossa frequência angular!
Passo 4
Lembrando que em um MHS, temos que
temos que o deslocamento obtido no passo anterior é dado por
O enunciado nos indica que este deslocamento é , portanto, temos que
de forma que a frequência natural de oscilação é dada por
que é a mesma de um pêndulo simples, assim como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!