Um peso desconhecido é preso a uma das extremidades de uma mola e prova uma elongação da mola de uma distância L , na posição de equilíbrio. Mostre que, nestas condições, se o peso for colocado para oscilar em MHS, o período é o mesmo de um pêndulo simples de comprimento L .

(Obs: considere a mola de massa desprezível).

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O que está sendo descrito aqui é a situação em que penduramos uma massa m qualquer em uma mola de massa desprezível. Normalmente, a posição de equilíbrio é igual ao comprimento natural da mola sem estar esticada, nestas condições a posição de equilíbrio é deslocada. Para visualizarmos esta afirmação vamos partir da segunda lei de Newton

F R = m a

em que F R é a força resultante que atua sobre o corpo de massa m gerando uma aceleração a . O enunciado indica que a variação da posição de equilíbrio é exatamente L . Saca só o que a segunda lei de Newton nos dá se colocarmos o sistema para oscilar!

Passo 2

Se puxarmos um pouco o sistema em um deslocamento y , temos que a força resultante sobre a partícula é dada por

F R = - k y - m g

usando que a aceleração é dada por

a = d 2 y d t 2

Temos que a equação diferencial que domina este movimento é a seguinte

m d 2 y d t 2 + k y + m g = 0

dividindo ambos os lados por m , temos que

d 2 y d t 2 + k m y + g = 0

O segredo para demonstrarmos o que queremos é fazer uma mudança de variável! saca só!

Passo 3

Vamos evidenciar o termo k / m da seguinte maneira

d 2 y d t 2 + k m ( y + m g k ) = 0

analisar a evolução da variável

y ' = y + m g k

note que como estamos apenas somando uma constante, temos que

d y ' d t = d y d t e d 2 y ' d t 2 = d 2 y d t 2

de forma que obtemos a seguinte equação diferencial

d 2 y ' d t 2 + k m y ' = 0

que é exatamente a equação de um oscilador harmônico! Mas, com a posição de equilíbrio deslocada de uma quantidade

m g / k

Vamos usar essa informação para obter a nossa frequência angular!

Passo 4

Lembrando que em um MHS, temos que

ω 0 = k m

temos que o deslocamento obtido no passo anterior é dado por

d e s l o c a m e n t o = g ω 0 2

O enunciado nos indica que este deslocamento é L , portanto, temos que

L = g ω 0 2

de forma que a frequência natural de oscilação é dada por

ω 0 = g L

que é a mesma de um pêndulo simples, assim como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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