O pêndulo A mostrado na figura consiste em uma esfera muito pequena de massa M sustentado por uma corda de massa desprezível e comprimento L . O pêndulo B consiste em uma esfera muito pequena de massa M / 2 e uma barra delgada de massa M / 2 e comprimento L. Sejam τ A e τ B os tempos que cada pêndulo demora em completar uma oscilação. Para deslocamentos pequenos em relação à posição de equilíbrio, pode-se dizer que:

(a) Os dois pêndulos levam o mesmo tempo para completar uma oscilação, com τ A = τ B =   2 π   L g .

(b) O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ B / τ A = 8 9 .

(c) O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ B / τ A = 1 / 2

(d) O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ B / τ A = 4 3 .

(e) O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ B / τ A = 2 .

Formulário:

  • Momentos de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L em relação a um eixo que passa perpendicularmente:
  • – Pelo centro de massas da barra: M L 2 / 12 .

    – Por uma das extremidades da barra: M L 2 / 3   .

  • Teorema dos eixos paralelos: I   =   I C M   +   M d 2 .

Passo 1

Como o pêndulo A é muito pequeno, logo ele é um pêndulo simples, com período

τ A = 2 π L g

Já B é um pêndulo físico, logo o período vai ser

τ B = 2 π I M g d

Onde I é o momento de inércia e d é a distância do centro de massa ao ponto onde o pêndulo está preso.

Passo 2

Vamos calcular a posição do centro de massa do sistema em relação ao ponto onde o pêndulo está preso.

Como a esfera (massa M / 2 ) está a uma distância L do eixo de rotação e a barra (massa M / 2 ) tem seu centro a uma distância L / 2 , o centro de massa do sistema é

d = M 2 L + M 2 L 2   M 2 + M 2 = 3 4 L

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia do sistema. Basta somar (lembre que a massa tanto da barra quanto da esfera é M / 2 )

I = I b a r r a + I e s f e r a

Usando as informações do formulário,

I b a r r a = 1 3 M 2 L 2

Como a esfera é muito pequena, consideramos seu momento inércia em relação ao centro de massa desprezível, logo, pelo teorema dos eixos paralelos

I e s f e r a = 0 + M 2 L 2

I = 2 3 M L 2

Passo 4

Substituindo em τ B

τ B = 2 π 2 3 M L 2 M g 3 4 L

τ B = 2 π 8 9 L g  

Comparando com τ A

τ B τ A = 8 9

Resposta

(b) O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ B / τ A = 8 9 .

Exercícios Resolvidos de Pêndulos Simples

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