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Exercícios Resolvidos de Resistência e Resistividade

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Enunciado

Corrente e Resistores

Um resistor cilíndrico de comprimento 2 L deveria ter uma seção reta S A ao longo de todo seu comprimento e uma resistência igual a R . Devido a um erro de fabricação, metade do resistor apresenta uma seção reta S B = 4 5 S A , conforme a figura.

a ) Determine a resistência R ' do resistor em termos do valor projetado R .

b ) Aplica-se uma ddp de V volts nas extremidades do resistor. Calcule os módulos dos campos elétricos E A e E B em cada um dos trechos do resistor em termos de V e L .

Passo 1

a ) Determine a resistência R ' do resistor em termos do valor projetado R .

Bom, se esse cara fosse construído da mesma forma que foi planejado, com área transversal S A e comprimento 2 L , a sua resistência R seria dada por:

R = ρ 2 L S A

Beleza! Mas alguém fez merda e o resistor saiu com essa cara...

Vamos pensar o seguinte... se vem uma corrente da esquerda para a direita, ela vai passar primeiro pela parte do resistor com área transversal S A e depois pela parte do resistor com área transversal S B , concorda?

Então seria a mesma coisa dizer que esses dois caras estão em série, conseguiu enxergar isso?

Assim, a resistência R ' será:

R ' = R A + R B

R ' = ρ L S A + ρ L S B = ρ L 1 S A + 1 S B

O problema já nos disse que S B = 4 5 S A . Então voltando ao problema:

R ' = ρ L 1 S A + 1 4 5 S A = ρ L 1 S A + 5 4 S A

R ' = 9 4 ρ L S A

Nós já achamos ali em cima que:

R = ρ 2 L S A

E como temos que comparar R com R ' , vamos tentar dar uma arrumada no R ' pra poder substituir o R :

R ' = 9 4 ρ L S A = 9 8 2 ρ L S A

R ' = 9 8   R

Passo 2

b ) Aplica-se uma ddp de V volts nas extremidades do resistor. Calcule os módulos dos campos elétricos E A e E B em cada um dos trechos do resistor em termos de V e L .

Quando aplicamos a ddp nas extremidades do resistor, V deve ser igual à soma das ddps de cada uma das duas partes do resistor.

V = V A + V B

Além disso, podemos associar a ddp com o campo elétrico através da relação V = E L , logo:

V = E A L + E B L

Agora que já encontramos a relação entre E A , E B e V , precisamos descobrir uma relação entre E A e E B .

Como esses dois caras estão em série, a corrente que passa pelas duas partes deve ser a mesma , assim, através da Lei de Ohm:

E A = ρ J A → E A = ρ I S A

E B = ρ J B → E B = ρ I S B

Novamente vamos usar a relação que o problema nos deu, S B = 4 5 S A :

E A = ρ I S A

E B = ρ I 4 5 S A = ρ 5 I 4 S A = 5 4   ρ I S A

E B = 5 4   E A

Agora ficou fácil! Vamos substituir isso na expressão de V para encontrarmos E A e E B em função de V e L .

Passo 3

V = E A L + E B L

Começando por:

E B = 5 4   E A

Teremos:

V = E A L + 5 4 E A L

V = 9 4 E A L

E A = 4 V 9 L  

Beleza! Para encontrar E B temos apenas que fazer a substituição inversa:

E B = 5 4   E A → E A = 4 5 E B

Portanto:

V = E A L + E B L

V = 4 5 E B L + E B L

V = 9 5 E B L

E B = 5 V 9 L

Resposta

a )

R ' = 9 8   R

b )

E A = 4 V 9 L

E B = 5 V 9 L

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