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Exercícios Resolvidos de Circuitos RL

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Enunciado

Circuito RL

O circuito R L mostrado na figura 1 contém um resistor R 1 e um indutor L em série com uma bateria de fem ε 0 . A chave S está inicialmente fechada e, portanto, nenhuma corrente passa pelo resistor R 2 , conforme a figura 1.

a ) Se a chave permaneceu fechada por um tempo muito longo antes de t = 0 , qual é a corrente estacionária I 0 no circuito antes da abertura da chave?

b ) Com a corrente I 0 percorrendo o circuito, a chave S é aberta no instante t = 0 , de forma que uma nova resistência R 2 é adicionada em série aos demais elementos (veja a figura 2). Escreva equação diferencial para I t que descreve o comportamento do circuito para t > 0 . Qual é a corrente no circuito imediatamente após a abertura da chave?

c ) Imediatamente após a abertura da chave, calcule a força eletromotriz ε i n d induzida pela variação de fluxo magnético através do indutor. Expresse sua resposta somente em termos de ε 0 , R 1 e R 2 .

Passo 1

a ) Se a chave permaneceu fechada por um tempo muito longo antes de t = 0 , qual é a corrente estacionária I 0 no circuito antes da abertura da chave?

Enquanto a chave permanece fechada, a corrente no circuito é dada por:

I t = ε 0 R 1 . 1 - e - R 1 t L

Quando dizemos que a chave permanece dessa forma por uma longo tempo, estamos dizendo que t → ∞ .

E quando o tempo tende ao infinito, a equação acima nos dá a seguinte corrente:

I 0 = ε 0 R 1

Passo 2

b ) Com a corrente I 0 percorrendo o circuito, a chave S é aberta no instante t = 0 , de forma que uma nova resistência R 2 é adicionada em série aos demais elementos (veja a figura 2). Escreva equação diferencial para I t que descreve o comportamento do circuito para t > 0 . Qual é a corrente no circuito imediatamente após a abertura da chave?

Quando a chave S é aberta, a resistência total do circuito passa a ser R 1 + R 2 . Logo, através da Lei das Malhas, teremos:

ε 0 - R 1 + R 2 I t - L d I t d t = 0

Passo 3

c ) Imediatamente após a abertura da chave, calcule a força eletromotriz ε i n d induzida pela variação de fluxo magnético através do indutor. Expresse sua resposta somente em termos de ε 0 , R 1 e R 2 .

A força eletromotriz induzida no indutor é dada por:

ε i n d = - L d I t d t

Substituindo isso na equação diferencial que encontramos na letra b , teremos:

ε 0 - R 1 + R 2 I t + ε i n d = 0

ε i n d = - ε 0 + R 1 + R 2 I t

Imediatamente após a abertura da chave, devido aos efeitos inerciais do indutor, a corrente ainda é igual a I 0 , logo:

ε i n d = - ε 0 + R 1 + R 2 I 0

Onde I 0 = ε 0 / R 1 .

ε i n d = - ε 0 + R 1 + R 2 ε 0 R 1  

ε i n d = ε 0 R 1 + R 2 R 1 - 1 = ε 0 R 1 + R 2 - R 1 R 1

Finalmente:

ε i n d = R 2 R 1 ε 0

Resposta

a )

I 0 = ε 0 R 1

b )

ε 0 - R 1 + R 2 I t - L d I t d t = 0

c )

ε i n d = R 2 R 1 ε 0

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