1) Na figura ao lado, a barra vertical tem massa m , comprimento L   e resistência R entre suas extremidades. Os trilhos são horizontais, sem atrito e têm resistências desprezíveis. A distância entre os trilhos também é L . Uma bateria ideal, com f e m   ε , está conectada entre os pontos a e b de tal forma que a corrente na barra é para baixo. A barra é liberada a partir do repouso em t = 0 .

a) Deduza uma expressão para a força horizontal na barra como função da velocidade v e das demais grandezas fornecidas.

b) Mostre que a velocidade da barra se aproxima de um valor máximo após um longo tempo, e determine uma expressão para esta velocidade.

c) Qual é a corrente quando a barra está se movendo com a velocidade máxima? Justifique todos os itens.

Passo 1

E aiii... nós de novo!

Na letra b vamos mostar que a velocidade se aproxima de um valor máximo. Maas antes disso precisamos achar uma expressão pra velocidade, né?

Vamos usar a segunda lei de Newton:

F = m a

Vamos pegar a força que achamos na letra a:

F → = ε - v B L R B L

E resgatar uma lembrancinha de que a aceleração é a derivada da velocidade:

a = d v d t

Para a letra c, vamos pegar a corrente que também achamos na letra a:

i = ε - v B L R

Passo 2

Igualando as forças, temos:

m a = ε - v B L R B L

a = ε - v B L B L R m

E como a aceleração é a derivada da velocidade:

d v d t = ε - v B L B L m R

Separando as variáveis:

d v ε - v B L = B L m R

Integrando ambos os lados:

∫ 0 v d v ε - v B L = ∫ 0 t B L m R

- 1 B L ln ⁡ ε - v B L 0 v = B L m R t 0 t

- 1 B L ln ⁡ ε - v B L - ln ⁡ ε = B L m R t

ln ⁡ ε - v B L ε = - B 2 L 2 m R t

ln ⁡ 1 - v B L ε = - B 2 L 2 m R t

1 - v B L ε = e - B 2 L 2 m R t

v = ε B L 1 - e - B 2 L 2 m R t

Passo 3

Agora que achamos uma expressão pra velocidade, vamos fazer esse tempo ser beeem grande. Isso lembra limite tendendo a infinite, não é?

v ∞ = lim t → ∞ ⁡ ε B L 1 - e - B 2 L 2 m R t

Repara que e - B 2 L 2 m R t vai pra e - ∞ que é aproximadamente zero.

v ∞ = ε B L

Passo 4

Pra resolver a letra c, só precisamos jogar essa velocidade limite na expressão da corrente:

i = ε - v B L R

i = ε - ε B L B L R

i = 0

Acabamos mais uma, heim!? Partiu pra próxima.

Resposta

a) v ∞ = ε B L   e demonstração nos passos.

b) i = 0

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