Passo 1

Para descobrirmos se estamos tratando de uma equação de Bernoulli temos que antes manipular essa equação.

y ' - 1 x y = 1 + ln ⁡ x y 3  

Temos com certeza uma equação de Bernoulli. Vamos aplicar o método que já aprendemos.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável u = y 1 - 3 = y - 2

d u d x = - 2 y - 3 d y d x  

Substituindo na EDO

- 1 2 d u d x - 1 x u = 1 + ln ⁡ x

u ' + 2 x u = - 2 - 2 ln ⁡ x

Agora basta resolvermos essa EDO linear de primeira ordem.

A x = 2 x

B x = - 2 - 2 ln ⁡ x

Passo 3

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 2 x d x = 2 ln ⁡ x = ln ⁡ x 2

I x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Passo 4

Calculando ∫ I x B x d x

∫ x 2 ( - 2 - 2 ln ⁡ x ) d x = - 2 ∫ x 2 d x - 2 ∫ x 2 ln ⁡ x d x  

∫ I x B x d x = - 2 3 x 3 - 2 9 x 3 3 ln ⁡ x - 1 = - 2 9 x 3 3 ln ⁡ x + 2  

Passo 5

Vamos lembrar do formato da solução de uma EDO linear de primeira ordem.

u x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + c

A nossa solução vai ficar.

u x = 1 x 2 - 2 9 x 3 3 ln ⁡ x + 2 + c

u = - 2 9 x 3 ln ⁡ x + 2 + c x 2

Agora basta voltarmos para a variável y

y - 2 = - 2 9 x 3 ln ⁡ x + 2 + c x 2

y 2 = 9 - 6 x ln ⁡ x - 4 x + 9 c x - 2

Tomando 9= 9 c = C

y 2 = 9 - 6 x ln ⁡ x - 4 x + C x - 2

Resposta

y 2 = 9 - 6 x ln ⁡ x - 4 x + C x - 2

Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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