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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 8a

Considere uma equação diferencial da forma

d y d x = p x + q x y + r x y 2

a ) Supondo que y 1 ( x ) é uma solução da equação diferencial, fa��a a mudança de variáveis v = y - y 1 , afim de obter a equação de Bernoulli:

d v d x - q x + 2 r x y 1 x v = r x v 2

Passo 1

Fala aí galera, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial:

d y d x = p x + q x y + r x y 2

O enunciado nos pede pra fazer a mudança de variáveis:

v = y - y 1

Para obter a equação:

d v d x - q x + 2 r x y 1 x v = r x v 2

Mas, esse y 1 é solução da primeira equação diferencial dada. Ou seja, vale que:

d y 1 d x = p x + q x y 1 + r x y 1 2

Massa! Sabendo de tudo isso, vamos fazer a substituição de variáveis, calculando d v / d x .

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, vamos substituir:

v = y - y 1

na equação dada. Para isso, vamos isolar y e calcular d y d x   em função dessas outras variáveis:

y = v + y 1

Daí, derivando:

d y d x = d v d x + d y 1 d x

Substituindo essas duas relações na equação diferencial:

d y d x = p x + q x y + r x y 2

Teremos:

d v d x + d y 1 d x = p x + q x ⋅ v + y 1 + r x ⋅ v + y 1 2

d v d x + d y 1 d x = p x + q x ⋅ y 1 + r x ⋅ y 1 2 + q x ⋅ v + r x ⋅ ( v 2 + 2 y 1 )

Mas, lembram que, como y 1 é solução, temos:

d y 1 d x = p x + q x y 1 v + r x y 1 2

Daí, usando isso na equação que chegamos através da substituição, vamos ter que:

d v d x = q x ⋅ v + r x ⋅ ( v 2 + 2 y 1 v )

Daí, manipulando matematicamente, chegamos que:

d v d x - q x + r x ⋅ 2 y 1 v = r x ⋅ v 2

Essa é justamente a relação que o enunciado nos pediu para provar!! Que chamamos de equação de Bernoulli.

E aí, curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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