Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Ver Teoria
Exercício 81234567910111213141516171819202122232425262728

Enunciado

Nos exercícios 19 a 22 identifique as equações do tipo Bernoulli e resolva-as. [lembrando, tipo Bernoulli: y ' + p x y = q x y n , n constante real]

20 .   x y ' - y 2 l n x = y 2

Passo 1

Para descobrirmos se estamos tratando de uma equação de Bernoulli temos que antes manipular essa equação.

y ' - y 2 x l n x = 1 x y 2

Temos com certeza uma equação de Bernoulli. Vamos aplicar o método que já aprendemos.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável u = y 1 - 2 = y - 1

d u d x = - 1 y 2 d y d x → d y d x = - y 2 d u d x

Vamos reescrever nossa EDO:

y ' - y 2 x l n x = 1 x y 2 → y - 2 y ' - y - 1 2 x l n x = 1 x

Substituindo na EDO:

- d u d x - u 2 x l n x = 1 x → d u d x + 1 2 x l n x u = - 1 x

u ' + 1 2 x l n x u = - 1 x

Agora basta resolvermos essa EDO linear de primeira ordem.

A x = 1 2 x l n x

B x = - 1 x

Passo 3

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 1 2 x l n x d x

Vamos fazer uma substituição simples para resolver essa integral. Chamando u = l n x → d u = 1 x d x :

∫ 1 2 x l n x d x → 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u

Lembrando que u = l n x

1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ ln ⁡ x

I x = e 1 2 ln ⁡ ln ⁡ x = l n ⁡ | x |

Passo 4

Calculando ∫ I x B x d x

∫ - ln ⁡ x x d x

Vamos usar uma substituição simples para resolver essa integral. Chamando u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

∫ - ln ⁡ x x d x → - ∫ u d u = - 2 3 u 3 2

Lembrando que u = l n ⁡ | x | :

∫ I x B x d x = - 2 3 ln ⁡ x 3

Passo 5

Vamos lembrar do formato da solução de uma EDO linear de primeira ordem.

u x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + c

A nossa solução vai ficar.

u x = 1 l n ⁡ | x | - 2 3 ln ⁡ x 3 + C

Agora basta voltarmos para a variável y :

u = y - 1 → y = 1 u

y x = 3 ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x 3 + C

Resposta

20 .     y x = 3 l n x C - 2 ln ⁡ x 3

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução completa de cos ⁡ x d y d x + y 2 = y s e n x Usando a solução de bernoulli 1 1 - nd u d x + P x u = Q x Sendo u= y 1 - n Com x no intervalo [ - π 2 , π 2 ]
Ache a solução completa de e x 2 d y d x + 2 x e x 2 y = x y ³ ³Usando a solução de bernoulli 1 1 - nd u d x + P x u = Q x Sendo u= y 1 - n
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)29 .y '=r y–k y 2 ,r0ek0 . Essa equação é importante em d
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)31 . d y d t=( Γc o s t+T ) y–y 3 , na qual Γ e T são con
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)30. y '=∊ y–σ y 3 ,∊0eσ0 ∊ ∊ . Essa equação aparece no es