Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

1 . Considere a problema de valor inicial

x 2 y ' + x y + 1 = 0 ,       y 1 = 1

( a ) Determine sua solução geral analiticamente. Justifique detalhadamente os passos de sua solução.

( b ) Resolva esse PVI no Mathematica. Exiba o gráfico da solução superposto ao campo de direções dessa equação diferencial.

Passo 1

Vamos começar resolver essa equação linear de primeira ordem não-homogênea dividindo toda a EDO por x ² para ficar do jeitinho que a gente pode trabalhar com ela.

y ' + 1 x y + 1 x 2 = 0     ⇒     y ' + 1 x y = - 1 x 2  

Sabemos então que p x = 1 / x e q x = - 1 / x ² e com isso podemos resolver a nossa EDO.

Passo 2

a ) Como já identificamos p ( x ) podemos usá-lo para achar μ ( x ) :

μ x = e ∫ 1 x   d x = e ln ⁡ x = x

Sabendo que:

y x = 1 μ x   μ x 0 y 0   +   ∫ x 0 x μ t q t d t

Então vamos ter:

y x = 1 x 1 ⋅ 1 + ∫ 1 x t - 1 t ²   d t = 1 x 1 + ∫ 1 x - 1 t   d t

Resolvendo a integral:

∫ 1 x - 1 t   d t = - ln ⁡ t x 1 = - ln ⁡ x

Ou seja:

y x = 1 x 1 - ln ⁡ x

Passo 3

Agora o gráfico que o item ( b ) fica da seguinte forma:

Resposta

a )

y x = 1 x 1 - ln ⁡ x

b )

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