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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV1 - Profº Andrey - 2018.1, Questão 2

2) Resolva o problema de valor inicial, y 0 = 2 , para EDO

d y d t = y 3 - y

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Temos que resolver um problema de valor inicial sabendo que y 0 = 2 da EDO

d y d t = y 3 - y

E aí, parece complicado? 👀

Reescrevendo a EDO, substituindo d y / d t por simplesmente y ' vamos obter

y ' = 3 y - y 2

y ' - 3 y = - y 2

Quando temos uma EDO do tipo y ' + P t y = Q x y n em que n ≠ 0 e n ≠ 1 aplicamos a equação de Bernoulli.

Nesse método dividimos toda a equação por y n , assim em um termo vamos obter y 1 - n , substituindo isso por u e encontrando u ' vamos chegar a uma EDO linear.

Entendeu? Bora começar! 😎

Passo 2

No nosso caso n = 2 , então dividindo toda a equação por y 2 , temos

y ' y 2 - 3 y y 2 = - y 2 y 2

y ' y 2 - 3 y - 1 = - 1

Nesse caso, y 1 - n = y - 1 , fazendo u = y - 1 e calculando u ' , chegamos em

u ' = - y - 2 y '

Isolando y ' ...

y ' = - y 2 u '

Substituindo u e u ' na EDO

- y 2 u ' y 2 - 3 u = - 1

- u ' - 3 u = - 1

u ' + 3 u = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora resolvemos normalmente como uma EDO linear.

u ' + p t u = g t → u ' + 3 u = 1

Primeiro calculamos o fator integrante

r t = e ∫ p t d t → r t = e ∫ 3 d t

r t = e 3 t

No fator integrante podemos ignorar a constante de integração...

E agora vamos calcular a solução geral como

u t = 1 r t ∫ r t · g t d t → y t = 1 e 3 t ∫ e 3 t · 1 d t

u t = 1 e 3 t 1 3 e 3 t + C

agora vamos voltar para y através da relação

u = y - 1

y t = 1 1 e 3 t 1 3 e 3 t + C

y t = e 3 t 1 3 e 3 t + C

y t = 3 e 3 t e 3 t + 3 C

E finalmente como y 0 = 2 , então

y 0 = 2 = 3 e 3 0 e 3 0 + 3 C → 2 = 3 1 + 3 C

1 + 3 C 2 = 3

1 + 3 C = 3 2

3 C = 1 2

C = 1 6

Portanto, a solução do problema é

y t = 3 e 3 t e 3 t + 1 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

y t = 3 e 3 t e 3 t + 1 2

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