Encontre todas as soluções da EDO:
Passo 1
Ok, vamos começar tentando deixar o sozinho. Para isso, vamos dividir toda a equação por :
Opa, novamente temos uma EDO na forma:
Com . Assim, temos uma equação de Bernoulli. Então vamos para o passo a passo para resolvê-la.
Passo 2
Começamos dividindo tudo por :
Passo 3
Beleza, agora fazemos a substituição
e vamos substituir na EDO. Para poder contemplar a derivada, vamos derivar usando a regra da cadeia:
Assim, para cada parte da EDO, temos:
O que significa que:
Multiplicando tudo por para deixar o sozinho chegamos em:
Agora temos uma EDO na forma:
Sendo:
Que é uma equação linear! Esse tipo de EDO terá solução na forma:
Sendo o fator integrante dado por:
Passo 4
Ok, então vamos resolver essa EDO, a começar pela integral do fator integrante:
Como resolver essa integral? Bem, olha lá que temos uma função e sua derivada aparecendo, então podemos usar substituição simples com:
Ficando:
Beleza, então o fator integrante será:
Passo 5
O fator integrante já foi, vamos agora encontrar a integral:
Olhando para esse integrando, vamos ter:
Ficando:
Passo 6
Feito os cálculos, substituímos na fórmula geral:
Poderíamos chegar a resposta final a partir disso, mas para ficar igual ao gabarito oficial, multiplicamos e dividimos por :
Além disso, temos que:
Então, vamos ter:
Agora, definindo :
Achamos , mas a questão quer , então usamos lá atrás que :
E essa é a reposta final do problema 😊