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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Equações de Bernoulli

Resolva a equação no intervalo I = 0 , ∞ :

x y ' - 3 y = x y 5

Passo 1

Essa equação é algo meio estranho, mas repara que temos y a vezes uma função de x do lado direito, assim isso parece uma EDO de Bernoulli. Lembra como é essa EDO?

y ' + P x y = Q x y a

Vamos escrever essa EDO dessa forma

y ' - 3 x y = y 5

Então essa é uma Edo de Bernoulli

Passo 2

Vamos começar a resolver a equação agora. A primeira coisa a fazer é dividir toda equação por y 5 , que é a mesma coisa de multiplicar por y - 5 .

y - 5 y ' - 3 x y - 5 y = y - 5 y 5

y - 5 y ' - 3 x y - 4 = 1

Passo 3

Fazendo agora a substituição ϕ = y - 4 que implica em ϕ ' = - 4 y - 5 y ' ficamos com

- 1 4 ϕ ' - 3 x ϕ = 1

ϕ ' + 12 x ϕ = - 4

E como já era de se esperar, a equação virou linear. Que resolvemos com uma fórmula conhecida.

Passo 4

Resolvendo

ϕ ' + 12 x ϕ = - 4

Vamos ter

p x = 12 x

E

g x = - 4

Nossa solução vai ser:

y x = 1 I ( x ) ∫ I x g x d x + C

Vou dizer que:

1 I ( x ) = v ( x )

E:

∫ I x g x d x + C = u ( x )

Então:

y x = v x u ( x )

Vamos começar achando v x

v x = 1 I ( x ) = I ( x ) - 1 = e - ∫ p x d x

Vamos começar com

∫ - p x d x = ∫ - 12 x d x = - 12 ∫ 1 x d x = - 12 ln ⁡ x = ln ⁡ x - 12  

Logo o fator integrante fica

v x = e ln ⁡ x - 12   = x - 12

Como x > 0 temos

v x = x - 12

Passo 5

Vamos agora achar u x

u x = ∫ g x e ∫ p x d x d x + C

Aquela integral de p x vai ser

∫ p x d x = - ln ⁡ x - 12 = ln ⁡ x 12  

Como x > 0

ln ⁡ x 12  

Assim nossa u x vai ser

u x = ∫ - 4 e ln ⁡ x 12 d x + C

u x = - 4 ∫ x 12 d x + C

u x = - 4 x 13 13 + C

Passo 6

Agora vamos ter

ϕ x = v x ∙ u x

ϕ x = x - 12 - 4 x 13 13 + C

ϕ x = - 4 x 13 + C x - 12

Passo 7

Voltado para a variável y

y - 4 = - 4 x 13 + C x - 12

Elevando os dois lados a - 1

y 4 = - 4 x 13 + C x - 12 - 1

Então

y = - 4 x 13 + C x - 12 - 1 / 4

Resposta

y = - 4 x 13 + C x - 12 - 1 / 4

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