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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

d )   3 1 + x 2 y ' = 2 x y y 3 - 1

Passo 1

Podemos pensar, a priori, em resolvermos essa EDO por separação de variáveis trocando y ' = d y / d x :

3 1 + x 2 2 x d y d x = y y 3 - 1     →

d y y y 3 - 1 = 2 x d x 3 1 + x 2

Só que veja que a integral de d y y y 3 - 1 não é algo fácil de resolver, então não vai rolar a separação. Mas esse y 3 pode ser um indício de Bernoulli com essa cara aqui:

y ' + P x y = Q x y n

Vejamos quem são essa P x e Q x então !

Passo 2

3 1 + x 2 y ' = 2 x y y 3 - 1

Multiplicando esse lado direito:

3 1 + x 2 y ' = 2 x y 4 - 2 x y     →

y ' = 2 x y 4 3 1 + x 2 - 2 x 3 1 + x 2 y   →

y ' + 2 x 3 1 + x 2 y   = 2 x 3 1 + x 2 y 4

Poxa! De Fato trata-se de Bernoulli, então partiu resolvê-la!

Passo 3

Passando dividindo y 4 :

y - 4 y ' + 2 x 3 1 + x 2 y - 3   = 2 x 3 1 + x 2

Fazendo a mudança de variável:

v = y - 3

E derivando:

v ' = - 3 y - 4 y '     →

- 1 3 v ' = y - 4 y '

Então:

y - 4 y ' + 2 x 3 1 + x 2 y - 3   = 2 x 3 1 + x 2     →

- 1 3 v ' + 2 x 3 1 + x 2 v   = 2 x 3 1 + x 2   →

v ' - 2 x 1 + x 2 v   = - 2 x 1 + x 2

Passo 4

Essa é uma EDO de primeira ordem, podemos resolver utilizando o Método do fator Integrante, onde a fórmula geral é:

v = 1 I x ∫ I x B x d x + C

E o fator integrante no caso é:

I x = e ∫ A x d x

A x = - 2 x 1 + x 2

B x = - 2 x 1 + x 2

Então vamos primeiro encontrar esse fator integrante!

Passo 5

Para isso, devemos calcular essa integral de A x , mas sem colocar a constante de integração!

∫ A x d x = ∫ - 2 x 1 + x 2 d x

Fazendo uma mudança de variável:

1 + x 2 = t

d t = 2 x d x

Então

∫ - 2 x 1 + x 2 d x = ∫ - 1 t d t =

- ln ⁡ t = - ln ⁡ 1 + x 2 =

ln ⁡ 1 + x 2 - 1

Então:

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ 1 + x 2 - 1 = 1 + x 2 - 1 =

1 1 + x 2

Passo 6

Com isso, podemos agora calcular essa integral aqui:

∫ I x B x d x =

∫ 1 1 + x 2 - 2 x 1 + x 2 d x =

∫ - 2 x 1 + x 2 2 d x

Fazendo novamente uma mudança:

1 + x 2 = u     →

d u = 2 x d x

Então...

∫ - 2 x 1 + x 2 2 d x = ∫ - 1 u 2 d u =

1 u = 1 1 + x 2

Passo 7

Logo, o resultado da nossa EDO é:

v = 1 1 1 + x 2 1 1 + x 2 + C

v = 1 + x 2 1 1 + x 2 + C

v = 1 + C x 2 + 1

v = C x 2 + C + 1

Passo 8

Não queremos o resultado em v e sim em y , mas...

v = y - 3     →

y - 3 = C x 2 + C + 1     →

1 y 3 = C x 2 + C + 1         →

1 C x 2 + C + 1   = y 3

Extraindo a raiz cúbica:

y = 1 C x 2 + C + 1 3

Resposta

y = 1 C x 2 + C + 1 3

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