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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Calculo 3 – UNICAMP – P1

Mostre que a seguinte equação é de Bernoulli e indique qual a substituição (i.e. mudança de variável) que a torna linear. Resolva-a pelo método de Bernoulli

x y ' - y = x 2 y 6                     x > 0 .

Passo 1

Vamos a nossa questão! Ela é bem curtinha e direta ao ponto!

Precisamos primeiro mostrar que a EDO é de Bernoulli (e o que seria isto?) e depois resolvê-la pelo método de Bernoulli.

Sendo assim, vamos começar com essa identificação. Afinal, o que é uma equação de Bernoulli? Uma EDO de primeira ordem recebe esse nome se ela pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + P x y = Q x y n

Onde n é um número real.

Então, basta dividirmos toda nossa EDO por x (vamos retirar o termo x que multiplica y ' ). Com isto, vamos obter:

y ' + - 1 x y = x y 6

Portanto, temos uma EDO de Bernoulli em que P x = - 1 x e Q x = x ;.

Passo 2

Agora temos que partir para a solução em sida EDO. Vamos começar alterando a nossa EDO. Vamos deixar no segundo membro apenas o termo x . Para isto, vamos dividir toda EDO por y 6 . Logo,

y ' - 1 x y = x y 6

y - 6 y ' - 1 x y - 5 = x

Agora, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos chamar v = y - 5 . Com isto, teremos

v ' = - 5 y - 6 y ' ⟹ - v ' 5 = y - 6 y '

Fazendo esta substituição na nossa EDO, teremos:

y - 6 y ' - 1 x y - 5 = x

- v ' 5 - 1 x v = x

v ' + 5 v x = - 5 x

E agora temos uma EDO linear em v !

Passo 3

Para finalizarmos, vamos ter de resolver a EDO linear em v . O fator integrante será:

μ x = e ∫ 5 x d x = e 5 ln ⁡ x = x 5

Agora, devemos multiplicar nossa EDO pelo fator integrante. Portanto,

μ x ⋅ v ' + 5 v x = μ x ⋅ - 5 x

x 5 v ' + 5 v x = x 5 ⋅ - 5 x

x 5 v ' + 5 x 4 v = - 5 x 6

Agora que realizamos a nossa multiplicação, nossa EDO será da forma μ v ' = μ q , sendo μ q = - 5 x 6 (todo o segundo membro). Portanto,

d d x x 5 v = - 5 x 6

Integrando ambos os lados, temos:

x 5 v = ∫ - 5 x 6 d x

x 5 v = - 5 x 7 7 + c

v = - 5 x 2 7 + c x - 5

Voltando pra y :

y - 5 = - 5 x 2 7 + c x - 5

y = - 5 x 2 7 + c x - 5 - 1 5

E assim finalizamos a nossa questão! Muito cuidado para não esquecerem da constante de integração!!!

Resposta

y = - 5 x 2 7 + c x - 5 - 1 5

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