Encontre todas as soluções da EDO: 2 * (1 - x^2) * y' - (1 - x^2) * y = x * y^3 * e^(-x)

Passo 1

Vamos começar isolando a derivada y ' . Para isso, dividimos tudo por 2 1 - x 2 :

y ' - 1 2 y = x e - x 2 1 - x 2 ⋅ y 3

Assim, temos uma equação na forma

y ' + P x y = Q x y α  

Com α = 3 ≠ 0 ≠ 1 . Sabe o que isso significa? Temos uma equação de Bernoulli! Como temos uma equação dessa, podemos seguir um passo a passo maroto e resolver o problema.

Passo 2

Ok, começamos dividindo toda a equação por y α = y 3 :

1 y 3 y ' - 1 2 y 2 = x e - x 2 1 - x 2

Passo 3

Agora fazemos a substituição de variáveis: u = y 1 - α = y 1 - 3 = y - 2

Para substituir essa definição, derivamos e relacionamos com y ' : u ' = y - 2 ' = - 2 y - 3 y ' = - 2 y 3 y ' = - 2 1 y 3 y '

Agora podemos fazer a substituição na EDO:

- 2 1 y 3 y ' = u ' ⟹ 1 y 3 y ' = - 1 2 u '

u = y - 2 = 1 y 2 ⟹ - 1 2 y 2 = - 1 2 u

Portanto, temos: 1 y 3 y ' - 1 2 y 2 = x e - x 2 1 - x 2

- 1 2 u ' - 1 2 u = x e - x 2 1 - x 2

Passo 4

Multiplicando tudo por - 2 para deixar u ' sozinho:

u ' + u = - x e - x 1 - x 2

Ou seja, temos uma equação na forma: u ' + A x u = B x

Sendo:

A x = 1 B x = - x e - x 1 - x 2

Que é uma equação linear! Essa EDO terá solução na forma:

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Sendo I x o fator integrante dado por:

I x = e ∫ A x d x

Passo 5

Beleza, vamos então calcular o fator integrante I x . Começamos com a integral que está lá na exponencial:

∫ A x d x = ∫ 1 d x = x

Deixamos assim sem a constante, porque ela já vai aparecer na solução final. Show, agora vamos para o fator integrante propriamente dito:

I x = e ∫ A x d x = e x

Passo 6

O fator integrante já foi, vamos agora para a integral: ∫ I x B x d x = - ∫ e x ⋅ x e - x 1 - x 2 d x = - ∫ x 1 - x 2 d x

Temos aqui uma função 1 - x 2 e sua derivada a menos de uma constante aparecendo ali x , então podemos usar método da substituição simples aqui:

w = 1 - x 2

d w = - 2 x d x ⟹ - d w 2 = x d x

- ∫ x 1 - x 2 d x = 1 2 ∫ d w w = 1 2 ln ⁡ w = 1 2 ln ⁡ 1 - x 2

Passo 7

Logo, a solução vai ser:

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

u x = 1 e x 1 2 ln ⁡ 1 - x 2 + C

Achamos u x , mas o problema quer saber y , então voltamos para a variável anterior:

u = y - 2

y 2 = 2 e x ln ⁡ 1 - x 2 + 2 C

E podemos deixar a solução assim mesmo, na forma implícita. 😊

Resposta

y 2 = 2 e x ln ⁡ 1 - x 2 + 2 C

Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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