Encontre todas as soluções da EDO:
Passo 1
Vamos começar isolando a derivada . Para isso, dividimos tudo por :
Assim, temos uma equação na forma
Com . Sabe o que isso significa? Temos uma equação de Bernoulli! Como temos uma equação dessa, podemos seguir um passo a passo maroto e resolver o problema.
Passo 2
Ok, começamos dividindo toda a equação por :
Passo 3
Agora fazemos a substituição de variáveis:
Para substituir essa definição, derivamos e relacionamos com :
Agora podemos fazer a substituição na EDO:
Portanto, temos:
Passo 4
Multiplicando tudo por para deixar sozinho:
Ou seja, temos uma equação na forma:
Sendo:
Que é uma equação linear! Essa EDO terá solução na forma:
Sendo o fator integrante dado por:
Passo 5
Beleza, vamos então calcular o fator integrante . Começamos com a integral que está lá na exponencial:
Deixamos assim sem a constante, porque ela já vai aparecer na solução final. Show, agora vamos para o fator integrante propriamente dito:
Passo 6
O fator integrante já foi, vamos agora para a integral:
Temos aqui uma função e sua derivada a menos de uma constante aparecendo ali , então podemos usar método da substituição simples aqui:
Passo 7
Logo, a solução vai ser:
Achamos , mas o problema quer saber , então voltamos para a variável anterior:
E podemos deixar a solução assim mesmo, na forma implícita. 😊