Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Enunciado

Olha aqui a situação: temos um solto ali, então essa é uma equação não é linear...

A nossa salvação nesse caso é lembrar da equação de Bernoulli que é sempre dessa forma aqui:

Para comparar as equações e ver se é mesmo uma equação de Bernoulli, precisamos dividir tudo por , para deixar sozinho. Então, vamos fazer isso:

Opa! Olha só, temos uma equação na forma da equação de Bernoulli com:

Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, vamos começar a resolvê-la. Para isso, dividimos toda a equação por :

Feito isso, fazemos uma substituição esperta . Assim vamos ter:

Vamos substituir esses valores no nosso problema. Para a derivada, vamos ter:

Para a outra expressão:

Portanto, vamos ter essa EDO associada:

Essa é justamente uma EDO linear na forma:

Com:

Que sempre vai ter solução:

Sendo o fator integrante dado por:

Dessa maneira, vamos ter:

Quanto a integral, teremos:

Sempre sem a constante, porque ela já aparece na solução geral. Assim, teremos:

Legal, encontramos o valor de . Mas até onde eu me lembro, a questão pediu , né? Então vamos retornar para essa variável. Como:

Vamos ter:

Podemos deixar implícita neste caso, pois não se trata de uma EDO linear.

Além da EDO, a questão também nos deu o valor inicial , então podemos determinar o valor da constante . Substituindo:

Assim, vamos ter: