(5pts) Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes questões:
( ) é resolvível por fator integrante e tem solução geral dada por
;
( ) é linear de ordem 2;
( ) é separável;
( ) A solução satisfaz 1
( ) A solução geral de é dada implicitamente por ;
1Note que essa é uma equação de Bernoulli
Passo 1
Falaaa aí!! Essa questão pode ser dividida em 5 questões, néVamos começar pensando na primeira. Vou repetir aqui pra gente não precisar ficar voltando no enunciado, beleza
( ) é resolvível por fator integrante e tem solução geral dada por
;
Olha, pelo lado esquerdo da função, podemos pensar em como fator ntegrante, né?
Se chamarmos o fator integrante de , ficaria:
Substituindo na equação da questão vai ficar:
Se integrarmos dos dois lados, vamos ter (e fazendo a integração por partes no último termo):
Isolando o , fica:
Somando o
Logo, a alternativa é VERDADEIRA
Passo 2
Vamos agora para a segunda afirmação:( ) é linear de ordem 2;Bom, vamos lembrar como é a carinha de uma equação linear de ordem 2:
Se reorganizarmos a equação da questão para ficar mais parecida, vamos ter:
Comparando, a gente chega que:
PORÉMMM, repara só, não tem nenhum termo com na fórmula da equação linear de ordem 2. Logo, essa afirmativa é FALSA!
Passo 3
( ) é separável;
Vamos tentar separar essa expressão, ou seja, colocar tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro.
Vamos tentar separar essa equação, ou seja, colocar tudo o que tem para um lado e tudo o que tem para outro.
Dos dois lados temos termos com e com que não conseguimos separar. Então, essa equação não é separável.
Alternativa FALSA!
Passo 4
( ) A solução satisfaz
Como se trata de uma equação de Bernoulli, que é da forma:
Vamos rearrumar a nossa equação para ficar dessa forma:
Pronto, agora que já está no mesmo formato, vamos resolver. Vamos começar dividindo por
Feito isso, vamos fazer a substituição
Sendo que é a variável que criamos para ajudar a resolver o problema. Então, para conseguirmos substituir, devemos derivá-la.
Beleza, agora podemos fazer a substituição:
Que é uma equação da forma:
Vamos resolver essa equação que terá solução da forma:
Onde é o fator integrante e é a constante de integração.
Substituindo na forma geral da solução, ficará:
Como é uma constante, podemos dizer que também é uma constante. Se substituirmos na expressão, teremos:
Lembrando que , temos:
Logo, a alternativa é VERDADEIRA
Passo 5
( ) A solução geral de é dada implicitamente por ;
Nessa alternativa, vamos usar a substituição: para conseguirmos resolver esse problema daderivada estar ao cubo.
Bom, se , então:
Substituindo esses novos valores, teremos:
Bom, para termos como uma função, não constante, temos que . Então, vai ficar:
Fazendo a separação de variáveis, teremos:
Integrando dos dois lados, ficaremos com:
Como , temos:
Podemos integrar dos dois lados:
Então, a afirmativa é VERDADEIRA!
Resposta
(V)
(F)
(F)
(V)
(V)