Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Ver Teoria

Enunciado

(5pts) Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes questões:

( ) y ' - 2 y = 4 - x é resolvível por fator integrante e tem solução geral dada por

y x = - 7 4 + 1 2 x + c e 2 x ;

( ) sinh ⁡ x y ' + x 3 y ' ' + y 2 = 3 x é linear de ordem 2;

( ) y ' = 3 x 2 + 2 y + 4 2 1 - x y é separável;

( ) A solução x 2 y ' + y 2 = x y satisfaz e x y = c x ; 1

( ) A solução geral de   y ' ' + 2 y y ' 3 = 0 é dada implicitamente por c 1 y + y 3 3 + c 2 = x ;

1Note que essa é uma equação de Bernoulli

Passo 1

Falaaa aí!! Essa questão pode ser dividida em 5 questões, néVamos começar pensando na primeira. Vou repetir aqui pra gente não precisar ficar voltando no enunciado, beleza

( ) y ' - 2 y = 4 - x é resolvível por fator integrante e tem solução geral dada por

y x = - 7 4 + 1 2 x + c e 2 x ;

Olha, pelo lado esquerdo da função, podemos pensar em e - 2 x como fator ntegrante, né?

Se chamarmos o fator integrante de u , ficaria: u = e - 2 x ;     u ' = - 2 e - 2 x = - 2 u

Substituindo na equação da questão vai ficar:

e - 2 x y ' - 2 e - 2 x y = 4 e - 2 x - x e - 2 x

e - 2 x . y ' = 4 e - 2 x - x e - 2 x

Se integrarmos dos dois lados, vamos ter (e fazendo a integração por partes no último termo):

e - 2 x . y = - 2 e - 2 x + 1 2 x e - 2 x + 1 4 e - 2 x + c

Isolando o y , fica:

y = - 2 + 1 2 x + 1 4 + c e 2 x

Somando o - 2   e 1 4

y = - 7 4 + 1 2 x + c e 2 x

Logo, a alternativa é VERDADEIRA

Passo 2

Vamos agora para a segunda afirmação:( ) sinh ⁡ x y ' + x 3 y ' ' + y 2 = 3 x é linear de ordem 2;Bom, vamos lembrar como é a carinha de uma equação linear de ordem 2:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = G ( x )

Se reorganizarmos a equação da questão para ficar mais parecida, vamos ter:

x 3 y ' ' + sinh ⁡ x y ' + y 2 = 3 x

Comparando, a gente chega que:

P x = x 3 ; Q x = sinh ⁡ ( x ) ; G x = 3 x

PORÉMMM, repara só, não tem nenhum termo com y 2 na fórmula da equação linear de ordem 2. Logo, essa afirmativa é FALSA!

Passo 3

( ) y ' = 3 x 2 + 2 y + 4 2 1 - x y é separável;

Vamos tentar separar essa expressão, ou seja, colocar tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro.

d y d x = 3 x 2 + 2 y + 4 2 1 - x y

Vamos tentar separar essa equação, ou seja, colocar tudo o que tem x para um lado e tudo o que tem y para outro.

2 1 - x y d y = 3 x 2 + 2 y + 4 d x

Dos dois lados temos termos com x   e com y que não conseguimos separar. Então, essa equação não é separável.

Alternativa FALSA!

Passo 4

( ) A solução x 2 y ' + y 2 = x y satisfaz e x y = c x ;

Como se trata de uma equação de Bernoulli, que é da forma:

y ' + P x y = Q x y α

Vamos rearrumar a nossa equação para ficar dessa forma:

x 2 y ' - x y = - y 2

y ' - 1 x y = - 1 x 2 y 2

Pronto, agora que já está no mesmo formato, vamos resolver. Vamos começar dividindo por y α = y 2

y - 2 y ' - 1 x y - 1 = - 1 x 2

Feito isso, vamos fazer a substituição

u = y 1 - α = y - 1

Sendo que u é a variável que criamos para ajudar a resolver o problema. Então, para conseguirmos substituir, devemos derivá-la.

u ' = - 1 y - 2 y '

Beleza, agora podemos fazer a substituição:

- u ' - u x = - 1 x 2 → u ' + 1 x u = 1 x 2

Que é uma equação da forma:

u ' + A x u = B ( x )

Vamos resolver essa equação que terá solução da forma:

u x = 1 I x ∫ B x I x d x + C

Onde I x = e ∫ A x d x é o fator integrante e C é a constante de integração.

I x = e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x = x

Substituindo na forma geral da solução, ficará:

u x = 1 x ∫ 1 x 2 . x d x + C = 1 x ∫ 1 x d x + C = 1 x ( ln ⁡ x + C )

Como C é uma constante, podemos dizer que ln ⁡ C também é uma constante. Se substituirmos na expressão, teremos:

u x = 1 x ln ⁡ x + ln ⁡ C = 1 x ln ⁡ ( x . C )

Lembrando que u x = y - 1 , temos:

u x = 1 y = 1 x ln ⁡ ( x . C ) → x y = ln ⁡ ( x . C ) → e x y = x C

Logo, a alternativa é VERDADEIRA

Passo 5

( ) A solução geral de   y ' ' + 2 y y ' 3 = 0 é dada implicitamente por c 1 y + y 3 3 + c 2 = x ;

Nessa alternativa, vamos usar a substituição: u = y ' para conseguirmos resolver esse problema daderivada estar ao cubo.

Bom, se u = y ' = d y / d x , então:

y ' ' = d u d x = d y d x . d u d y

y ' ' = u . u '

Substituindo esses novos valores, teremos:

u . u ' + 2 y u 3 = 0

Bom, para termos y como uma função, não constante, temos que u ≠ 0 . Então, vai ficar:

u ' + 2 y u 2 = 0 → d u d y = - 2 y u 2

Fazendo a separação de variáveis, teremos:

d u u 2 = - 2 y d y

Integrando dos dois lados, ficaremos com:

∫ d u u 2 = ∫ - 2 y d y

- 1 u + c 1 = - y 2 → 1 u = y 2 + c 1

u = 1 y 2 + c 1

Como u = y ' = d y / d x , temos:

d y d x = 1 y 2 + c 1 → y 2 + c 1 d y = d x

Podemos integrar dos dois lados:

∫ y 2 + c 1 d y = ∫ 1 . d x

y 3 3 + c 1 y + c 2 = x

Então, a afirmativa é VERDADEIRA!

Resposta

(V)

(F)

(F)

(V)

(V)

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução completa de cos ⁡ x d y d x + y 2 = y s e n x Usando a solução de bernoulli 1 1 - nd u d x + P x u = Q x Sendo u= y 1 - n Com x no intervalo [ - π 2 , π 2 ]
Ache a solução completa de e x 2 d y d x + 2 x e x 2 y = x y ³ ³Usando a solução de bernoulli 1 1 - nd u d x + P x u = Q x Sendo u= y 1 - n
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)29 .y '=r y–k y 2 ,r0ek0 . Essa equação é importante em d
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)31 . d y d t=( Γc o s t+T ) y–y 3 , na qual Γ e T são con
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)30. y '=∊ y–σ y 3 ,∊0eσ0 ∊ ∊ . Essa equação aparece no es